Determine os autovalores e autovetores do operador T: R^3 R^3 dado por T(X)=A X, forall X in R^3, em que
A=(lll 2 & 0 & 1 2 & 1 & 2 1 & 0 & 2 )
e beta=(1,1),(0,1) de R^2. ada por:
1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador A = 2 & 0 & 1 2 & 1 & 2 1 & 0 & 2 que é definido pela multiplicação pela matriz :
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar os valores de que satisfazem e, para cada , encontrar um vetor não nulo que satisfaz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico da matriz A - lambda I = 2 - lambda & 0 & 1 2 & 1 - lambda & 2 1 & 0 & 2 - lambda , que é det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - (2)(0)] - 0 + 1[(2)(0) - (1 - lambda)(1)] .
A matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda)( (1 - lambda)(2 - lambda) ) + 1(- (1 - lambda)) fica assim:
= (2 - lambda)(2 - 3lambda + lambda^2) - (1 - lambda)
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
= (2 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) - 1 + lambda
Simplificando:
= 2lambda^2 - 6lambda + 4 - lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda -1 + lambda
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3
-lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0
Então, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar 1 - 5 + 7 - 3 = 0 :
lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 3)
Funciona! Então, lambda = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 é um autovalor.
Vamos fatorar o polinômio usando :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são e .

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para A - I = 1 & 0 & 1 2 & 0 & 2 1 & 0 & 1 :
Resolvemos x + z = 0 2x + 2z = 0 x + z = 0 :
v = -1 t 1
Isso simplifica para:
v = -1 0 1
A solução é A - 3I = -1 & 0 & 1 2 & -2 & 2 1 & 0 & -1 . Podemos escolher -x + z = 0 2x - 2y + 2z = 0 x - z = 0 , então 2x - 2y + 2x = 0 Rightarrow 4x - 2y = 0 Rightarrow 2x - y = 0 Rightarrow y = 2x . Como v = 1 2 1 é livre, vamos escolher .
Portanto, o autovetor para é:
Normalmente, escolhemos para simplicidade:
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
Da primeira e terceira equações, temos .
Substituindo na segunda equação:
Podemos escolher , então e .
Portanto, o autovetor para é:

Resposta

Os autovalores do operador v = -1 0 1 são v = 1 2 1 e .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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