Determine os autovalores e autovetores do operador dado por , , em que
e de . ada por:
1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador que é definido pela multiplicação pela matriz :
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar os valores de que satisfazem e, para cada , encontrar um vetor não nulo que satisfaz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico da matriz , que é .
A matriz fica assim:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar :
Funciona! Então, é um autovalor.
Vamos fatorar o polinômio usando :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são e .
Passo 4
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
A solução é . Podemos escolher , então . Como é livre, vamos escolher .