Determine os autovalores e autovetores do operador dado por , , em que
e de . ada por:
1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador que é definido pela multiplicação pela matriz :
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Precisamos entender como encontrar os valores de que satisfazem e, para cada , encontrar um vetor não nulo que satisfaz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico da matriz , que é .
A matriz fica assim:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Então, o polinômio característico é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar :
Funciona! Então, é um autovalor.
Vamos fatorar o polinômio usando :
Agora, resolvemos :
Então, e .
Portanto, os autovalores são e .

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
A solução é . Podemos escolher , então . Como é livre, vamos escolher .
Portanto, o autovetor para é:
Normalmente, escolhemos para simplicidade:
Para :
Resolvemos :
Isso simplifica para:
Da primeira e terceira equações, temos .
Substituindo na segunda equação:
Podemos escolher , então e .
Portanto, o autovetor para é:

Resposta

Os autovalores do operador são e .
Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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