Seja W=p(x) in P15(R) ; integral0^3 p(x) d x=0 e p^prime(3)=0 um subsespaço de P15(R). Determine a dimensão de W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto integral0^3 p(x) , dx = 0 que consiste em polinômios de grau até 15, ou seja, p'(3) = 0 . Para um polinômio pertencer a , ele precisa satisfazer duas condições:
  1. A integral de de 0 a 3 deve ser igual a zero:
  2. A derivada de em deve ser zero:
Nosso objetivo é descobrir a dimensão de . Isso significa determinar quantas “direções independentes” existem nesse conjunto dentro do espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dim(P15(R)) = 16 é o espaço de todos os polinômios reais de grau até 15. A dimensão desse espaço é 16, porque temos polinômios desde o grau 0 até o 15, totalizando 16 coeficientes independentes.

Passo 3

Agora, integral0^3 p(x) , dx = 0 é definido por duas condições lineares sobre os polinômios de p'(3) = 0 . Cada condição pode ser vista como uma restrição que “corta” o espaço original, reduzindo sua dimensão.
A primeira condição é a integral ser zero:
A segunda condição é a derivada em 3 ser zero:

Passo 4

Como temos duas condições lineares, assumimos que elas são independentes, ou seja, uma não pode ser obtida a partir da outra. Isso significa que cada condição reduz a dimensão do espaço original em 1.
Então, cada condição reduz a dimensão em 1:
dim(W) = dim(P15(R)) - 2 = 16 - 2 = 14

Resposta

A dimensão de é 14.

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