Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e então aplicar uma substituição que simplifique a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando consideramos
e
.
A equação é:
Vamos analisar os graus:
- No numerador:
tem grau 2 e também tem grau 2. - No denominador:
tem grau 1 (de ) + 1 (de ) = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau (2), a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição
. Isso significa que
e, derivando em relação a
, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, separamos as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Vamos resolver as integrais. No lado esquerdo, fazemos uma substituição simples
, então
:
No lado direito:
Passo 7
Igualando as integrais:
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Ou rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.