Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
d y/d t = (3 y^2 - t^2)/(2 t y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação diferencial dada é homogênea e depois resolvê-la. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais homogêneas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e então aplicar uma substituição que simplifique a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos tiverem o mesmo grau quando consideramos e .
A equação é:
Vamos analisar os graus:
  • No numerador: tem grau 2 e também tem grau 2.
  • No denominador: tem grau 1 (de ) + 1 (de ) = 2.
Como todos os termos têm o mesmo grau (2), a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . Isso significa que e, derivando em relação a , temos:
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, separamos as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Vamos resolver as integrais. No lado esquerdo, fazemos uma substituição simples , então :
No lado direito:

Passo 7

Igualando as integrais:
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :
Ou rearranjando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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