Mostre que o campo
no eixo de uma anel carregado de raio
e carregado uniformemente, tem seus valores máximo e mínimo em
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre campo elétrico. A questão fala sobre um anel com raio
que está carregado de forma uniforme. A gente precisa mostrar que, ao longo do eixo desse anel, o campo elétrico
atinge seus valores máximo e mínimo nos pontos
. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado e usar um pouco de cálculo para encontrar onde esse campo é máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é calculado o campo elétrico no eixo de um anel carregado uniformemente. Imagina que a gente tem um anel de raio
com carga total
. No eixo, que é a linha que passa pelo centro do anel e vai para frente e para trás, a expressão do campo elétrico
em um ponto a uma distância
do centro é dada por:
Aqui,
é a constante eletrostática (
).
Passo 3
Agora, para encontrar onde esse campo elétrico é máximo ou mínimo, a gente precisa derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos de máximo e mínimo ocorrem onde a taxa de variação de
em relação a
é zero.
Vamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia, ficamos com:
Simplificando isso:
Passo 4
Para que
, o numerador da fração precisa ser zero:
Resolvendo essa equação:
Passo 5
Então, encontramos que os pontos onde o campo elétrico
tem seus valores máximo e mínimo ao longo do eixo são
.
Resposta
Os valores máximo e mínimo do campo elétrico no eixo do anel ocorrem em
.