Mostre que o campo E no eixo de uma anel carregado de raio a e carregado uniformemente, tem seus valores máximo e mínimo em x= pm a / raiz2.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre campo elétrico. A questão fala sobre um anel com raio que está carregado de forma uniforme. A gente precisa mostrar que, ao longo do eixo desse anel, o campo elétrico atinge seus valores máximo e mínimo nos pontos . Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do campo elétrico no eixo de um anel carregado e usar um pouco de cálculo para encontrar onde esse campo é máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é calculado o campo elétrico no eixo de um anel carregado uniformemente. Imagina que a gente tem um anel de raio E(x) = k Q x(x^2 + a^2)^3/2 com carga total . No eixo, que é a linha que passa pelo centro do anel e vai para frente e para trás, a expressão do campo elétrico em um ponto a uma distância do centro é dada por:
Aqui, é a constante eletrostática ( ).

Passo 3

Agora, para encontrar onde esse campo elétrico é máximo ou mínimo, a gente precisa derivar dEdx = ddx ( k Q x(x^2 + a^2)^3/2 ) em relação a dEdx = k Q ( (x^2 + a^2)^3/2 - x cdot 32(x^2 + a^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + a^2)^3 ) e igualar a derivada a zero. Isso porque os pontos de máximo e mínimo ocorrem onde a taxa de variação de dEdx = k Q cdot (x^2 + a^2) - 3x^2(x^2 + a^2)^5/2 = 0 em relação a é zero.
Vamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia, ficamos com:
Simplificando isso:

Passo 4

Para que (x^2 + a^2) - 3x^2 = 0 , o numerador da fração precisa ser zero:
-2x^2 + a^2 = 0 2x^2 = a^2 x^2 = a^22 x = pm araiz2
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Então, encontramos que os pontos onde o campo elétrico tem seus valores máximo e mínimo ao longo do eixo são .

Resposta

Os valores máximo e mínimo do campo elétrico no eixo do anel ocorrem em .

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