Mostre que o campo magnético de um solenóide é dado por B=mu0 i n, na qual é n é o número de espiras por unidade de comprimento. Observação: Não use a lei de Ampere; Calcule o campo magnético no centro do solenóide dividindo-o em espiras de corrente infinitesimais e integrando ao longo do solenoide.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos demonstrar que o campo magnético de um solenóide é dado por , onde é o número de espiras por unidade de comprimento e é a corrente elétrica. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético gerado por uma espira de corrente e integrar essas contribuições ao longo de todo o solenóide.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um solenóide. Um solenóide é basicamente um enrolamento de fio condutor em forma de hélice, criando várias espiras próximas umas das outras. Quando uma corrente passa por esse enrolamento, cada espira gera um campo magnético.

Passo 3

Sabemos que o campo magnético no centro de uma única espira circular com raio Bespira = mu0 , I2 , R e corrente é dado por:
onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 4

No solenóide, temos várias espiras distribuídas ao longo do comprimento. Vamos considerar uma pequena espira infinitesimal localizada a uma distância do centro do solenóide. O campo magnético gerado por essa espira no centro do solenóide ainda será .

Passo 5

Agora, vamos pensar em quantas espiras existem em um pequeno intervalo de comprimento do solenóide. Como temos espiras por unidade de comprimento, o número de espiras nesse intervalo é .

Passo 6

O campo magnético total dB = mu0 , I2 , R times n , dx gerado pelas espiras nesse intervalo é:

Passo 7

Para encontrar o campo magnético total B = integral0^L mu0 , I2 , R times n , dx no centro do solenóide, precisamos somar as contribuições de todas as espiras ao longo do comprimento do solenóide. Isso é feito integrando de a :

Passo 8

Realizando a integração:
B = mu0 , I , n2 , R integral0^L dx = mu0 , I , n2 , R times L

Passo 9

Simplificando a expressão, considerando que o raio B = mu0 , n , I do solenóide é constante:

Resposta

Assim, demonstramos que o campo magnético de um solenóide é .

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