(b) Mostre que o ângulo de curvatura se aproxima de zero quando a variação de temperatura tende a zero ou quando os dois coeficientes de expansão tornam-se iguais.

Passo 1

Neste exercício, vamos mostrar que o ângulo de curvatura se aproxima de zero quando a variação de temperatura tende a zero ou quando os dois coeficientes de expansão térmica se tornam iguais. Para isso, vamos usar conceitos de expansão térmica em materiais compostos.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que causa a curvatura em materiais compostos. Quando temos dois materiais unidos e submetidos a uma variação de temperatura, cada material pode expandir ou contrair de maneira diferente devido aos seus coeficientes de expansão térmica distintos. Essa diferença faz com que o conjunto se curve.

Passo 3

A variação de comprimento de um material submetido a uma variação de temperatura é dada pela fórmula:
onde:
  • é o comprimento original;
  • é o coeficiente de expansão térmica;
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

Se temos dois materiais com coeficientes de expansão e , a diferença de expansão entre eles será:
Essa diferença é o que provoca a curvatura no conjunto dos materiais.

Passo 5

O ângulo de curvatura está relacionado a essa diferença de expansão. Podemos dizer que:
Isso significa que o ângulo de curvatura é diretamente proporcional à variação de temperatura e à diferença entre os coeficientes de expansão dos materiais.

Passo 6

Agora, vamos analisar os dois casos mencionados no exercício:
  1. Quando :
    Se a variação de temperatura tende a zero, a expressão para o ângulo de curvatura fica:
    Ou seja, sem variação de temperatura, não há expansão ou contração, e portanto, o ângulo de curvatura se aproxima de zero.
  2. Quando :
    Se os coeficientes de expansão são iguais, a diferença entre eles é zero:
    Mesmo com uma variação de temperatura, se os coeficientes são iguais, não há diferença de expansão, resultando também em um ângulo de curvatura igual a zero.

Resposta

Portanto, o ângulo de curvatura se aproxima de zero tanto quando a variação de temperatura tende a zero quanto quando os coeficientes de expansão térmica e se tornam iguais.

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