Uma fonte de som (em três dimensões) irradia uniformemente em todas as direções. Ao longo de uma linha radial da fonte, há dois pontos separados por
, de modo que o nível sonoro no ponto mais próximo à fonte é
acima daquele do ponto mais distante. Quão longe está o mais próximo da fonte?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que manda o enunciado. A gente tem uma fonte de som que espalha o som igualmente em todas as direções no espaço tridimensional. Ao longo de uma linha reta que sai dessa fonte, tem dois pontos que estão separados por 2 metros. O som no ponto mais perto da fonte é 4 decibéis (dB) mais alto que no ponto mais longe. Nosso objetivo é descobrir quão perto está o primeiro ponto da fonte.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a intensidade do som diminui com o quadrado da distância. Isso significa que se você estiver duas vezes mais longe da fonte, a intensidade do som será um quarto. A fórmula que representa isso é:
Onde
é a intensidade e
é a distância da fonte.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com os níveis sonoros em decibéis. A diferença de nível sonoro entre dois pontos é dada por:
Sabemos que
. Então:
Dividindo ambos os lados por 10:
Convertendo para forma exponencial:
Passo 4
Usando a relação entre intensidade e distância:
Substituindo o valor que encontramos:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Sabemos que a diferença de distância entre os pontos é de 2 metros:
Substituindo na relação anterior:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por 0,585:
Resposta
O ponto mais próximo da fonte está aproximadamente a 3,42 metros de distância.