Uma fonte de som (em três dimensões) irradia uniformemente em todas as direções. Ao longo de uma linha radial da fonte, há dois pontos separados por 2 m, de modo que o nível sonoro no ponto mais próximo à fonte é 4 d B acima daquele do ponto mais distante. Quão longe está o mais próximo da fonte? (1,25)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que manda o enunciado. A gente tem uma fonte de som que espalha o som igualmente em todas as direções no espaço tridimensional. Ao longo de uma linha reta que sai dessa fonte, tem dois pontos que estão separados por 2 metros. O som no ponto mais perto da fonte é 4 decibéis (dB) mais alto que no ponto mais longe. Nosso objetivo é descobrir quão perto está o primeiro ponto da fonte.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a intensidade do som diminui com o quadrado da distância. Isso significa que se você estiver duas vezes mais longe da fonte, a intensidade do som será um quarto. A fórmula que representa isso é:
I propto 1r^2
Onde é a intensidade e é a distância da fonte.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com os níveis sonoros em decibéis. A diferença de nível sonoro entre dois pontos é dada por:
L1 - L2 = 10 log10(I1I2)
Sabemos que 4 = 10 log10(I1I2) . Então:
0,4 = log10(I1I2)
Dividindo ambos os lados por 10:
I1I2 = 10^0,4 approx 2,51
Convertendo para forma exponencial:

Passo 4

Usando a relação entre intensidade e distância:
I1I2 = (r2r1)^2
Substituindo o valor que encontramos:
2,51 = (r2r1)^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
r2r1 approx raiz2,51 approx 1,585

Passo 5

Sabemos que a diferença de distância entre os pontos é de 2 metros:
r2 = r1 + 2
Substituindo na relação anterior:
r1 + 2r1 approx 1,585
Multiplicando ambos os lados por r1 + 2 approx 1,585 r1 :

Passo 6

Agora, isolamos 2 approx 1,585 r1 - r1 = 0,585 r1 :
r1 approx 20,585 approx 3,42 , m
Dividindo ambos os lados por 0,585:

Resposta

O ponto mais próximo da fonte está aproximadamente a 3,42 metros de distância.

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