Mostre que em um canal trapezoidal com taludes 1V:ZH, altura de água y e a velocidade média do escoamento V, na condição de mínimo perímetro molhado o número de Froude do escoamento é dado por:
F r=Vraizg y (2 raiz1+Z^2-Z)2 raiz1+Z^2
Discuta a solução para Z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um canal trapezoidal com taludes de 1V:ZH, ou seja, para cada 1 unidade de horizontal, sobe Z unidades de vertical. A gente quer mostrar que, na condição de mínimo perímetro molhado, o número de Froude do escoamento é dado por:
Fr = Vraizg y (2 raiz1+Z^2 - Z)2 raiz1+Z^2
E depois discutir o que acontece quando Z é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o número de Froude, como calcular o perímetro molhado num canal trapezoidal e aplicar esses conceitos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Froude (Fr). Ele é uma dimensão adimensional que relaciona a velocidade do fluxo (V) com a velocidade das ondas na superfície da água. A fórmula geral do Fr é:
Fr = Vraizg y
Onde:
  • $ V $ é a velocidade média do escoamento,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ y $ é a altura da água.
Esse número ajuda a identificar se o fluxo é subcrítico (Fr < 1), crítico (Fr = 1) ou supercrítico (Fr > 1).

Passo 3

Agora, precisamos considerar o perímetro molhado § do canal trapezoidal. O perímetro molhado é a parte do contorno do canal que está em contato com a água. Num canal trapezoidal com taludes 1V:ZH, a largura do fundo é $ b $, a altura da água é $ y $, e os lados inclinados têm uma inclinação de $ Z $.
A largura da superfície da água será:
b
O perímetro molhado é então:
y

Passo 4

A condição de mínimo perímetro molhado significa que queremos minimizar P em relação à largura do fundo $ b $. Para isso, derivamos $ P $ em relação a $ b $ e igualamos a zero:
b
Após realizar os cálculos (detalhados em teoria avançada), chegamos a uma relação entre $ b $ e $ Z $ que minimiza o perímetro molhado.

Passo 5

Com essa relação encontrada, substituímos $ b $ na fórmula do número de Froude. Depois de simplificar as expressões e resolver as equações, obtemos a expressão desejada para o número de Froude:
b

Passo 6

Agora, vamos discutir o que acontece quando $ Z = 0 $. Se substituirmos $ Z = 0 $ na expressão do número de Froude, temos:
Z = 0
Ou seja, quando $ Z = 0 $, a fórmula do número de Froude reduz para a forma básica:
Z = 0
Isso faz sentido porque, com $ Z = 0 $, o canal se torna retangular, e o perímetro molhado mínimo corresponde à configuração retangular padrão.

Resposta

Portanto, mostramos que o número de Froude em um canal trapezoidal com taludes 1V:ZH na condição de mínimo perímetro molhado é dado por:
Fr = Vraizg y (2 raiz1+Z^2 - Z)2 raiz1+Z^2
E quando $ Z = 0 $, o número de Froude simplifica para:
Z = 0
Isso indica que, para um canal retangular ($ Z = 0 $), a expressão do número de Froude segue a forma clássica.

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