Mostre que o coeficiente de Joule-Thompson pode ser escrito:
Escreva a expressão anterior de forma a que se possa calcular o coeficiente de Joule-Thompson com o auxílio da equação de van der Waals, e calcule-o.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o coeficiente de Joule-Thompson, representado por
, pode ser expresso da seguinte forma:
Além disso, precisamos reescrever essa expressão utilizando a equação de Van der Waals para poder calcular
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre termodinâmica, especificamente sobre propriedades dos gases e a equação de estado de Van der Waals.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o coeficiente de Joule-Thompson. Ele descreve a variação da temperatura de um gás quando ele passa por uma expansão isotérmica (sem troca de calor com o ambiente) mantendo a pressão constante. A fórmula geral é:
Aqui,
é a temperatura,
é a pressão e
é a entalpia.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa expressão para que possamos usar a equação de Van der Waals. Para isso, precisamos relacionar
com outras propriedades termodinâmicas.
Vamos lembrar que a entalpia
está relacionada com a energia interna
e o produto
:
Passo 4
Para encontrar
, podemos usar a relação de derivadas parciais:
Sabemos que:
E:
Onde
é a capacidade calorífica a pressão constante.
Passo 5
Substituindo essas expressões na fórmula de
, temos:
Isso confirma a expressão que precisávamos mostrar.
Passo 6
Agora, vamos reescrever essa expressão utilizando a equação de Van der Waals. A equação de Van der Waals é dada por:
Onde
e
são constantes características do gás,
é a constante dos gases e
é a temperatura.
Passo 7
Para encontrar
, vamos derivar a equação de Van der Waals em relação a
mantendo
constante.
Começamos isolando
:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Passo 9
Portanto, o coeficiente de Joule-Thompson usando a equação de Van der Waals é:
Resposta
O coeficiente de Joule-Thompson, utilizando a equação de Van der Waals, é dado por: