Mostre que o coeficiente de Joule-Thompson pode ser escrito:
alphaH=T(partial Vpartial T)P-VCP
Escreva a expressão anterior de forma a que se possa calcular o coeficiente de Joule-Thompson com o auxílio da equação de van der Waals, e calcule-o.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o coeficiente de Joule-Thompson, representado por alphaH, pode ser expresso da seguinte forma:
alphaH = T(partial Vpartial T)P - VCP
Além disso, precisamos reescrever essa expressão utilizando a equação de Van der Waals para poder calcular alphaH. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre termodinâmica, especificamente sobre propriedades dos gases e a equação de estado de Van der Waals.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o coeficiente de Joule-Thompson. Ele descreve a variação da temperatura de um gás quando ele passa por uma expansão isotérmica (sem troca de calor com o ambiente) mantendo a pressão constante. A fórmula geral é:
alphaH = ( partial Tpartial P )H
Aqui, T é a temperatura, P é a pressão e H é a entalpia.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa expressão para que possamos usar a equação de Van der Waals. Para isso, precisamos relacionar ( partial Vpartial T )P com outras propriedades termodinâmicas.
Vamos lembrar que a entalpia H está relacionada com a energia interna U e o produto PV:
H = U + PV

Passo 4

Para encontrar ( partial Tpartial P )H, podemos usar a relação de derivadas parciais:
( partial Tpartial P )H = ( partial Hpartial P )T ( partial Hpartial T )P
Sabemos que:
( partial Hpartial P )T = T ( partial Vpartial T )P - V
E:
( partial Hpartial T )P = CP
Onde CP é a capacidade calorífica a pressão constante.

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula de alphaH, temos:
alphaH = T ( partial Vpartial T )P - VCP
Isso confirma a expressão que precisávamos mostrar.

Passo 6

Agora, vamos reescrever essa expressão utilizando a equação de Van der Waals. A equação de Van der Waals é dada por:
(P + aV^2)(V - b) = RT
Onde a e b são constantes características do gás, R é a constante dos gases e T é a temperatura.

Passo 7

Para encontrar ( partial Vpartial T )P, vamos derivar a equação de Van der Waals em relação a T mantendo P constante.
Começamos isolando V:
P = RTV - b - aV^2
Agora, derivamos ambos os lados em relação a T:
0 = RV - b + RT ( partialpartial T ( 1V - b ) )P - aV^2 ( partialpartial T ( 1V^2 ) )P
Isso simplifica para:
( partial Vpartial T )P = V - bT

Passo 8

Substituindo ( partial Vpartial T )P na expressão de alphaH:
alphaH = T ( V - bT ) - VCP = V - b - VCP = -bCP

Passo 9

Portanto, o coeficiente de Joule-Thompson usando a equação de Van der Waals é:
alphaH = -bCP

Resposta

O coeficiente de Joule-Thompson, utilizando a equação de Van der Waals, é dado por:
alphaH = -bCP

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