A entropia de um gás relaciona-se a seu volume e temperatura por meio da expressão:
em que o sobrescrito 0 refere-se a um estado padrão arbitrário, e
é função somente da temperatura. Mostre que esse gás obedece à equação volumétrica do gás ideal. Note que esse exercício é distinto do exercício 1 do capítulo 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que um gás que tem a entropia dada por
segue a equação do gás ideal. Isso envolve conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à entropia, temperatura, volume e pressão. Vamos precisar usar relações termodinâmicas básicas e entender como a entropia se relaciona com essas variáveis para chegar na famosa equação $ PV = RT $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão $ P $ pode ser relacionada à entropia $ S $ por uma derivada parcial. Na termodinâmica, temos que:
Isso significa que a derivada da entropia em relação ao volume, mantendo a temperatura constante, é igual à derivada da pressão em relação à temperatura, mantendo o volume constante. Essa é uma das chamadas relações de Maxwell.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T $ usando a expressão dada para $ S(T, V) $:
Derivando em relação a $ V $ a temperatura $ T $ constante:
Passo 4
De acordo com a relação de Maxwell que mencionamos, sabemos que:
Então, substituindo o que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa última igualdade em relação à temperatura $ T $, mantendo $ V $ constante:
Isso resulta em:
Onde $ f(V) $ é uma função que depende apenas de $ V $. Mas, para um gás ideal, a pressão não depende de $ V $, além do termo já presente, o que implica que $ f(V) $ deve ser uma constante. Podemos absorver essa constante na escolha do estado padrão $ P^{0} $, resultando em:
Resposta
Dessa forma, mostramos que a pressão $ P $, a temperatura $ T $ e o volume $ V $ do gás satisfazem a equação do gás ideal: