Mostre que, para um gás ideal,
Dessa maneira, nota-se que a independência de
e
com a pressão (ou o volume) é uma conseqüência natural do comportamento volumétrico do gás ideal, e não uma condição a mais a ser satisfeita por ele.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, para um gás ideal, as derivadas parciais da energia interna $ U $ e da entalpia $ H $ em relação à pressão $ P $, mantendo a temperatura $ T $ constante, são iguais a zero. Isso nos mostra que $ U $ e $ H $ não dependem da pressão (ou do volume) para um gás ideal. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos gases ideais e algumas relações da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ V $ é o volume,
- $ n $ é a quantidade de substância,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura.
Essa equação relaciona pressão, volume e temperatura para um gás ideal.
Passo 3
Vamos começar analisando a energia interna $ U $. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura e não do volume ou da pressão. Isso significa que, se a temperatura é mantida constante, mudanças na pressão não afetam $ U $.
Matematicamente, isso pode ser expresso como:
Isso já mostra que a derivada parcial de $ U $ em relação a $ P $ a temperatura constante é zero, confirmando que $ U $ não depende da pressão para um gás ideal.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a entalpia $ H $. A entalpia é definida como:
Para um gás ideal, já sabemos que $ U $ não depende de $ P $, então precisamos ver como $ PV $ se comporta.
Usando a equação dos gases ideais $ PV = nRT $, substituímos na equação da entalpia:
Aqui, $ H $ também depende apenas de $ U $ e da temperatura $ T $, já que $ n $ e $ R $ são constantes. Portanto, a entalpia $ H $ também não depende da pressão quando a temperatura é constante.
Matematicamente:
Isso confirma que a derivada parcial de $ H $ em relação a $ P $ a temperatura constante é zero.
Resposta
Para um gás ideal, as derivadas parciais da energia interna $ U $ e da entalpia $ H $ em relação à pressão $ P $, mantendo a temperatura $ T $ constante, são iguais a zero:
Isso mostra que $ U $ e $ H $ são independentes da pressão, graças ao comportamento volumétrico do gás ideal.