Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções , onde , é ortogonal no intervalo . Depois disso, vamos calcular a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de funções ortogonais e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um conjunto de funções é ortogonal. Duas funções e são ortogonais no intervalo se o produto interno delas for zero, ou seja:
No nosso caso, queremos mostrar que todas as funções diferentes no conjunto são ortogonais entre si no intervalo .
Passo 3
Vamos começar verificando a ortogonalidade entre a função constante e cada uma das funções . Vamos calcular a integral:
Integrar é simples. A integral de é .
Passo 4
Aplicando essa regra, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Passo 5
Substituindo e :
Sabemos que para qualquer inteiro , então a integral resulta em zero.
Passo 6
Portanto, a função constante é ortogonal a cada função no intervalo .
Agora, vamos verificar a ortogonalidade entre duas funções e onde .
Passo 7
Calculamos a integral:
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Passo 8
Aplicando a identidade:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 9
A integral de de a é:
Isso vale para qualquer inteiro , já que .
Passo 10
Assim, a integral original é:
Portanto, as funções e são ortogonais quando no intervalo .
Passo 11
Agora que mostramos a ortogonalidade do conjunto, vamos calcular a norma de cada função, que é a raiz quadrada do produto interno da função consigo mesma.
Para a função constante :
Passo 12
Para a função :
Usamos a identidade .
Passo 13
Aplicando a identidade:
A integral do cosseno novamente resulta em zero.
Resposta
Portanto, o conjunto é ortogonal no intervalo . As normas das funções são: