Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções , onde , é ortogonal no intervalo . Depois disso, vamos calcular a norma de cada função desse conjunto. Para isso, vamos usar conceitos de funções ortogonais e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dizer que um conjunto de funções é ortogonal. Duas funções e são ortogonais no intervalo se o produto interno delas for zero, ou seja:
No nosso caso, queremos mostrar que todas as funções diferentes no conjunto são ortogonais entre si no intervalo .

Passo 3

Vamos começar verificando a ortogonalidade entre a função constante e cada uma das funções . Vamos calcular a integral:
Integrar é simples. A integral de é .

Passo 4

Aplicando essa regra, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 5

Substituindo e :
Sabemos que para qualquer inteiro , então a integral resulta em zero.

Passo 6

Portanto, a função constante é ortogonal a cada função no intervalo .
Agora, vamos verificar a ortogonalidade entre duas funções e onde .

Passo 7

Calculamos a integral:
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:

Passo 8

Aplicando a identidade:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 9

A integral de de a é:
Isso vale para qualquer inteiro , já que .

Passo 10

Assim, a integral original é:
Portanto, as funções e são ortogonais quando no intervalo .

Passo 11

Agora que mostramos a ortogonalidade do conjunto, vamos calcular a norma de cada função, que é a raiz quadrada do produto interno da função consigo mesma.
Para a função constante :

Passo 12

Para a função :
Usamos a identidade .

Passo 13

Aplicando a identidade:
A integral do cosseno novamente resulta em zero.

Resposta

Portanto, o conjunto é ortogonal no intervalo . As normas das funções são:
e

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Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(5) .
Seja um conjunto ortogonal de funções em . Mostre que: