Seja phi_n(x) um conjunto ortogonal de funções em [a, b]. Mostre que:
||phi_m(x) + phi_n(x)||^2 = ||phi_m(x)||^2 + ||phi_n(x)||^2, m ≠ n

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de funções que são ortogonais no intervalo [a, b]. A pergunta quer que a gente mostre que, se a gente pegar duas dessas funções diferentes, digamos e , a norma quadrada da soma delas é igual à soma das normas quadradas individuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser ortogonal e como calcular a norma de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de uma função. A norma de uma função phi(x) no intervalo [a, b] é dada por:
Mas como a gente vai trabalhar com a norma ao quadrado, vamos focar em , que é:

Passo 3

Agora, como o conjunto é ortogonal, isso significa que para quaisquer m != n, temos:
Essa propriedade vai ser crucial para simplificar a expressão que queremos provar.

Passo 4

Vamos calcular a norma quadrada da soma das duas funções e :

Passo 5

Expandindo o quadrado dentro da integral:

Passo 6

Podemos separar a integral em três partes:

Passo 7

Sabemos que é um conjunto ortogonal, então o termo cruzado é igual a zero, já que m != n:

Passo 8

Assim, a expressão simplifica para:

Passo 9

Reconhecendo que cada uma dessas integrais é a norma quadrada das funções individuais, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que para m != n, a norma quadrada da soma das funções é igual à soma das normas quadradas individuais:

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