Seja um conjunto ortogonal de funções em . Mostre que:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de funções que são ortogonais no intervalo . A pergunta quer que a gente mostre que, se a gente pegar duas dessas funções diferentes, digamos e , a norma quadrada da soma delas é igual à soma das normas quadradas individuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser ortogonal e como calcular a norma de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de uma função. A norma de uma função no intervalo é dada por:
Mas como a gente vai trabalhar com a norma ao quadrado, vamos focar em , que é:

Passo 3

Agora, como o conjunto é ortogonal, isso significa que para quaisquer , temos:
Essa propriedade vai ser crucial para simplificar a expressão que queremos provar.

Passo 4

Vamos calcular a norma quadrada da soma das duas funções e :

Passo 5

Expandindo o quadrado dentro da integral:

Passo 6

Podemos separar a integral em três partes:

Passo 7

Sabemos que é um conjunto ortogonal, então o termo cruzado é igual a zero, já que :

Passo 8

Assim, a expressão simplifica para:

Passo 9

Reconhecendo que cada uma dessas integrais é a norma quadrada das funções individuais, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que para , a norma quadrada da soma das funções é igual à soma das normas quadradas individuais:

Exercícios relacionados

Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(5) .
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
e)
Calcule as integrais abaixo.
Calcule as integrais abaixo.