Seja
um conjunto ortogonal de funções em
. Mostre que:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um conjunto de funções
que são ortogonais no intervalo
. A pergunta quer que a gente mostre que, se a gente pegar duas dessas funções diferentes, digamos
e
, a norma quadrada da soma delas é igual à soma das normas quadradas individuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser ortogonal e como calcular a norma de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de uma função. A norma de uma função
no intervalo
é dada por:
Mas como a gente vai trabalhar com a norma ao quadrado, vamos focar em
, que é:
Passo 3
Agora, como o conjunto
é ortogonal, isso significa que para quaisquer
, temos:
Essa propriedade vai ser crucial para simplificar a expressão que queremos provar.
Passo 4
Vamos calcular a norma quadrada da soma das duas funções
e
:
Passo 5
Expandindo o quadrado dentro da integral:
Passo 6
Podemos separar a integral em três partes:
Passo 7
Sabemos que
é um conjunto ortogonal, então o termo cruzado
é igual a zero, já que
:
Passo 8
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 9
Reconhecendo que cada uma dessas integrais é a norma quadrada das funções individuais, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que para
, a norma quadrada da soma das funções é igual à soma das normas quadradas individuais: