Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
(5) y(x) = -1/x^2 ; x^2 dy + 2xy dx = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função é solução da equação diferencial . Além disso, temos que descobrir em que intervalo essa solução está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como substituir funções nelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a . A função que temos é . Vamos derivar isso:
Então, a derivada .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial dada. A equação é:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Então:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de onde as operações são válidas.

Passo 5

Por último, precisamos determinar em que intervalo a solução está definida. Observando a função, vemos que não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Portanto, o intervalo de definição é .

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial para todo em que é diferente de zero. Ou seja, o intervalo onde a solução está definida é .

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