Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial, determine o intervalo onde a solução está definida.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a função
é solução da equação diferencial
. Além disso, temos que descobrir em que intervalo essa solução está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como substituir funções nelas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. A função que temos é
. Vamos derivar isso:
Então, a derivada
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial dada. A equação é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando mais:
Então:
Isso significa que a equação é satisfeita para qualquer valor de
onde as operações são válidas.
Passo 5
Por último, precisamos determinar em que intervalo a solução
está definida. Observando a função, vemos que
não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido. Portanto, o intervalo de definição é
.
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação diferencial
para todo
em que
é diferente de zero. Ou seja, o intervalo onde a solução está definida é
.