Escreva a matriz
A=[lll 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 ]
como um produto de matrizes elementares de linha e determine sua inversa, se possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a matriz como um produto de matrizes elementares de linha e descobrir a inversa dela, se possível. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e operações com elas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes elementares funcionam e como elas podem ser usadas para transformar a matriz na matriz identidade, o que nos ajudará a encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são matrizes elementares de linha. São matrizes que representam operações básicas de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero ou adicionar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações podem ser usadas para transformar qualquer matriz inversível na matriz identidade. Então, nosso objetivo é aplicar essas operações na matriz passo a passo.

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 :
En cdot ldots cdot E2 cdot E1 cdot A = I
Queremos transformar A^-1 = E1^-1 cdot E2^-1 cdot ldots cdot En^-1 na matriz identidade usando operações de linha. Cada operação será representada por uma matriz elementar tal que:
Então, a inversa de será o produto inverso dessas matrizes elementares:

Passo 4

Primeiro, vamos eliminar o 1 na segunda linha, primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha. A operação é:
E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicando E1 cdot A = 1 & 1 & 2 0 & -1 & -1 0 & 2 & 1 em :

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, somamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha. A operação é:
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1
Aplicando E2 cdot (E1 cdot A) = 1 & 1 & 2 0 & -1 & -1 0 & 0 & -1 na matriz resultante:

Passo 6

Agora, vamos tornar o pivô (o -1 na segunda linha, segunda coluna) igual a 1, multiplicando a segunda linha por -1. A operação é:
E3 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicando E3 cdot (E2 cdot E1 cdot A) = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 :

Passo 7

Por fim, vamos tornar o -1 na terceira linha, terceira coluna igual a 1, multiplicando a terceira linha por -1. A operação é:
E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1
Aplicando E4 cdot (E3 cdot E2 cdot E1 cdot A) = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 :

Passo 8

Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos agora eliminar os 1’s acima dos pivôs para chegar na matriz identidade. Primeiro, subtraímos a terceira linha da segunda linha:
E5 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Aplicando E5 cdot (E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1 cdot A) = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :

Passo 9

Agora, subtraímos 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
E6 = 1 & 0 & -2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicando E6 cdot (E5 cdot E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1 cdot A) = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :

Passo 10

Por último, subtraímos a segunda linha da primeira linha para eliminar o 1 acima do pivô:
E7 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Aplicando E7 cdot (E6 cdot E5 cdot E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1 cdot A) = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I :

Resposta

Portanto, a matriz A = E1^-1 cdot E2^-1 cdot E3^-1 cdot E4^-1 cdot E5^-1 cdot E6^-1 cdot E7^-1 pode ser escrita como o produto das matrizes elementares:
A^-1 = E7 cdot E6 cdot E5 cdot E4 cdot E3 cdot E2 cdot E1
E a inversa de é:

Exercícios relacionados