Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos saber se o conjunto de vetores em com a primeira componente forma um subespaço de . Para resolver isso, vamos usar os critérios que definem um subespaço vetorial. Precisaremos verificar três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em é . Aqui, a primeira componente , que satisfaz a condição do conjunto. Então, o vetor zero está incluído.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos considerar dois vetores qualquer e . A soma deles é . Note que a primeira componente continua sendo , então a soma também está no conjunto. Isso significa que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se multiplicarmos um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto. Tomemos um vetor qualquer e um escalar . Multiplicando, temos . A primeira componente continua sendo , então o vetor resultante também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto satisfaz todas as condições necessárias — contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar — ele é um subespaço de .