Mostre que o conjunto
tal que
não é subespaço vetorial
Geometria Analítica e Álgebra Linear
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Questões - Tópico 3
do
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Questões - Tópico 3
do
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto
e precisamos mostrar que esse conjunto não é um subespaço vetorial de
. Vamos usar os conceitos de álgebra linear para verificar as condições necessárias para que um conjunto seja um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial de
, ele precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor nulo: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado em relação à adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar no conjunto. - Fechado em relação à multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um escalar, então também deve estar no conjunto.
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o conjunto não é um subespaço vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: contém o vetor nulo. O vetor nulo em
é
.
No conjunto
, todos os vetores têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real. Vamos ver se o vetor nulo está em
:
Para que
estivesse em
, teríamos que ter
, já que o segundo componente é sempre 1 no conjunto
. Claramente,
não é igual a
. Portanto, o vetor nulo não está em
.
Passo 4
Como o vetor nulo não está no conjunto
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
. Não precisamos verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser verdadeiras para que
seja um subespaço, e já falhamos na primeira.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor nulo.