Mostre que o conjunto S=(x, 1,0) in R^3 tal que x in R não é subespaço vetorial
Geometria Analítica e Álgebra Linear
1
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Questões - Tópico 3
do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto e precisamos mostrar que esse conjunto não é um subespaço vetorial de . Vamos usar os conceitos de álgebra linear para verificar as condições necessárias para que um conjunto seja um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial de , ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado em relação à adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar no conjunto.
  3. Fechado em relação à multiplicação por escalar: Se está no conjunto e é um escalar, então também deve estar no conjunto.
Se qualquer uma dessas condições não for satisfeita, o conjunto não é um subespaço vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: contém o vetor nulo. O vetor nulo em é .
No conjunto , todos os vetores têm a forma , onde pode ser qualquer número real. Vamos ver se o vetor nulo está em :
Para que estivesse em , teríamos que ter , já que o segundo componente é sempre 1 no conjunto . Claramente, não é igual a . Portanto, o vetor nulo não está em .

Passo 4

Como o vetor nulo não está no conjunto , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial de . Não precisamos verificar as outras condições, porque todas elas precisam ser verdadeiras para que seja um subespaço, e já falhamos na primeira.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor nulo.

Exercícios relacionados