Mostre que o conjunto
[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
é uma base do M2.
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Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que um conjunto de quatro matrizes é uma base do conjunto de todas as matrizes 2x2, que a gente chama de . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de base, espaço vetorial, e independência linear. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é , que consiste em todas as matrizes 2x2. Então, precisamos mostrar duas coisas:
  1. As quatro matrizes dadas são linearmente independentes.
  2. Essas matrizes geram qualquer matriz 2x2.

Passo 3

Vamos começar verificando a independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Então, vamos considerar uma combinação linear das nossas matrizes igual a zero:
c1 1 & 0 0 & 0 + c2 0 & 1 0 & 0 + c3 0 & 0 1 & 0 + c4 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Agora, vamos somar as matrizes:
c1 & c2 c3 & c4 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá as seguintes equações:
c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0, c4 = 0
Isso significa que a única solução para essa combinação linear ser zero é quando todos os coeficientes são zero. Portanto, as matrizes são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que essas matrizes geram qualquer matriz 2x2. Ou seja, qualquer matriz A = a & b c & d pode ser escrita como uma combinação linear das quatro matrizes dadas. Seja:
A = c1 1 & 0 0 & 0 + c2 0 & 1 0 & 0 + c3 0 & 0 1 & 0 + c4 0 & 0 0 & 1
Queremos encontrar coeficientes A = c1 & c2 c3 & c4 tais que:
a & b c & d
Somando as matrizes:
c1 = a, c2 = b, c3 = c, c4 = d
Comparando com , temos:
Isso mostra que qualquer matriz pode ser expressa como uma combinação linear das quatro matrizes dadas.

Resposta

Portanto, o conjunto de matrizes fornecido é uma base de , pois são linearmente independentes e geram todo o espaço das matrizes 2x2.

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