Mostre que o conjunto
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos mostrar que um conjunto de quatro matrizes é uma base do conjunto de todas as matrizes 2x2, que a gente chama de
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de base, espaço vetorial, e independência linear. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é
, que consiste em todas as matrizes 2x2. Então, precisamos mostrar duas coisas:
- As quatro matrizes dadas são linearmente independentes.
- Essas matrizes geram qualquer matriz 2x2.
Passo 3
Vamos começar verificando a independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Então, vamos considerar uma combinação linear das nossas matrizes igual a zero:
Passo 4
Agora, vamos somar as matrizes:
Isso nos dá as seguintes equações:
Isso significa que a única solução para essa combinação linear ser zero é quando todos os coeficientes
são zero. Portanto, as matrizes são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que essas matrizes geram qualquer matriz 2x2. Ou seja, qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das quatro matrizes dadas. Seja:
Queremos encontrar coeficientes
tais que:
Somando as matrizes:
Comparando com
, temos:
Isso mostra que qualquer matriz
pode ser expressa como uma combinação linear das quatro matrizes dadas.
Resposta
Portanto, o conjunto de matrizes fornecido é uma base de
, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço das matrizes 2x2.