Mostre que o conjunto S=A in M2 tal que A=A^t é subespaço vetorial do M2, isto é, das matrizes de ordem 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de , que são todas as matrizes 2x2. Ou seja, precisamos provar que satisfaz as condições para ser um subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e verificar passo a passo se cumpre as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto 0 = 0 & 0 0 & 0 não está vazio. Em álgebra linear, todo subespaço vetorial deve conter pelo menos o vetor zero (ou no caso, a matriz zero). A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero:
Como a matriz zero é igual à sua transposta ( ), ela pertence a . Portanto, não está vazio.

Passo 3

Agora, precisamos ver se A = A^t e B = B^t é fechado sob a adição de vetores, ou seja, se a soma de duas matrizes em A + B também está em (A + B)^t = A^t + B^t = A + B . Vamos pegar duas matrizes e em . Isso significa que:
Vamos somar essas matrizes:
A transposta da soma é:
Já que é igual à sua transposta, isso mostra que também pertence a . Logo, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, precisamos verificar se A = A^t é fechado sob a multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz lambda A em (lambda A)^t = lambda A^t = lambda A por um escalar , o resultado também deve estar em .
Começamos com , então:
Multiplicando por :
A transposta de é:
Como é igual à sua transposta, também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como verificamos que contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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