Mostre que o conjunto
tal que
é subespaço vetorial do
, isto é, das matrizes de ordem 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que são todas as matrizes 2x2. Ou seja, precisamos provar que
satisfaz as condições para ser um subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e verificar passo a passo se
cumpre as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
não está vazio. Em álgebra linear, todo subespaço vetorial deve conter pelo menos o vetor zero (ou no caso, a matriz zero). A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero:
Como a matriz zero é igual à sua transposta (
), ela pertence a
. Portanto,
não está vazio.
Passo 3
Agora, precisamos ver se
é fechado sob a adição de vetores, ou seja, se a soma de duas matrizes em
também está em
. Vamos pegar duas matrizes
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar essas matrizes:
A transposta da soma é:
Já que
é igual à sua transposta, isso mostra que
também pertence a
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos uma matriz
em
por um escalar
, o resultado
também deve estar em
.
Começamos com
, então:
Multiplicando por
:
A transposta de
é:
Como
é igual à sua transposta,
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como verificamos que
contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.