Mostre que:
Se um conjunto A subset V contém o vetor nulo, então A é L.D.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que, se um conjunto contém o vetor nulo, então é linearmente dependente. Aqui, estamos lidando com o tema de Álgebra Linear, especificamente com a definição de combinação linear e dependência linear. Para resolver, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente dependente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de conjunto linearmente dependente. Um conjunto de vetores é chamado de linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Ou seja, existe uma relação onde alguns coeficientes não são todos zero que satisfazem essa combinação.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o conjunto contém o vetor nulo, ou seja, . O vetor nulo tem uma propriedade especial: ele pode ser representado como uma combinação linear de qualquer conjunto de vetores com todos os coeficientes iguais a zero. Matemáticamente, .

Passo 4

De acordo com a definição de dependência linear, se conseguimos escrever o vetor nulo como uma combinação linear não trivial (onde pelo menos um coeficiente é diferente de zero), então o conjunto é linearmente dependente. Mesmo que todos os coeficientes sejam zero, a presença do vetor nulo já implica dependência, pois o vetor nulo por si só não adiciona “direção” ao conjunto.

Passo 5

Portanto, já que e conseguimos expressar o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores de , concluímos que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto que contém o vetor nulo é, portanto, linearmente dependente.

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