Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço
, que representa todas as matrizes quadradas de ordem
com números reais. O subconjunto
é definido como todas as matrizes
em
que satisfazem a condição
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se essa matriz está em
:
Como a condição é satisfeita, a matriz zero está em
.
Passo 3
Segunda condição: Fechamento sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Sabemos que para ambas,
e
.
Vamos somar
e
:
Agora, calculamos
:
Sabemos que
e
, então:
Não podemos garantir que
para todas as matrizes em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Embora já tenhamos visto que
não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegamos uma matriz
em
e um escalar
:
Calculamos
:
Como
, temos:
Portanto,
também está em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado sob adição.