Seja V=R^n times n, n >= 2. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(lla & b c & d) in V: a d-b c=0.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o espaço a & b c & d , que representa todas as matrizes quadradas de ordem com números reais. O subconjunto é definido como todas as matrizes em que satisfazem a condição . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero em 0 & 0 0 & 0 é a matriz onde todos os elementos são zero:
ad - bc = 0 times 0 - 0 times 0 = 0
Vamos verificar se essa matriz está em :
Como a condição é satisfeita, a matriz zero está em .

Passo 3

Segunda condição: Fechamento sob adição
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a & b c & d , B = a' & b' c' & d' :
A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d'
Sabemos que para ambas, = ad + a d' + a' d + a' d' - bc - b c' - b' c - b' c' e = bc + a d' + a' d + b' c' - bc - b c' - b' c - b' c' = a d' + a' d - b c' .
Vamos somar e :
Agora, calculamos :
Sabemos que e , então:
Não podemos garantir que para todas as matrizes em . Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 4

Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Embora já tenhamos visto que kA = ka & kb kc & kd não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegamos uma matriz = k^2 ad - k^2 bc = k^2(ad - bc) em k^2 times 0 = 0 e um escalar :
Calculamos :
Como , temos:
Portanto, também está em .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não é fechado sob adição.

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