(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em
é uma base de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está dizendo. Temos um conjunto de cinco vetores no espaço
que são linearmente independentes. Queremos mostrar que esse conjunto forma uma base para
. Para isso, vamos precisar saber sobre espaços vetoriais, independência linear e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Matemáticamente, se temos vetores
e a única solução para
é
, então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em
, uma base precisa ter exatamente cinco vetores, já que a dimensão de
é cinco.
Passo 4
Como já temos cinco vetores que são linearmente independentes e sabemos que
tem dimensão cinco, isso significa que esse conjunto de vetores não só são independentes, mas também geram todo o espaço. Portanto, eles satisfazem as duas condições para serem uma base de
.
Resposta
Sim, cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em
é uma base de
.