(d) Cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em R^5 é uma base de R^5.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está dizendo. Temos um conjunto de cinco vetores no espaço R^5 que são linearmente independentes. Queremos mostrar que esse conjunto forma uma base para R^5. Para isso, vamos precisar saber sobre espaços vetoriais, independência linear e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Matemáticamente, se temos vetores v1, v2, dots, v5 e a única solução para a1 v1 + a2 v2 + dots + a5 v5 = 0 é a1 = a2 = dots = a5 = 0, então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em R^5, uma base precisa ter exatamente cinco vetores, já que a dimensão de R^5 é cinco.

Passo 4

Como já temos cinco vetores que são linearmente independentes e sabemos que R^5 tem dimensão cinco, isso significa que esse conjunto de vetores não só são independentes, mas também geram todo o espaço. Portanto, eles satisfazem as duas condições para serem uma base de R^5.

Resposta

Sim, cada conjunto linearmente independente de cinco vetores em R^5 é uma base de R^5.

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