Determine a equação da elipse de focos (3,0) e (-3,0) e vértices (0,4) e ( 0,-4 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em (3,0) e (-3,0) e os vértices em (0,4) e (0,-4). Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como distância entre focos, vértices e os parâmetros principais da equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Os focos estão em (3,0) e (-3,0), então o centro está no ponto médio entre eles. Calculando:
Centro = ( 3 + (-3)2, 0 + 02 ) = (0,0)

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de (0,4) e (0,-4), que são os semieixos maior e menor da elipse, respectivamente. Como os vértices estão em e , isso indica que o semieixo maior está no eixo . Portanto, .

Passo 4

A distância entre os dois focos é (3,0). Calculando a distância entre (-3,0) e 2c = raiz(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2 = raiz6^2 = 6 implies c = 3 :

Passo 5

Sabemos que, em uma elipse, a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , 3^2 = 4^2 - b^2 implies 9 = 16 - b^2 implies b^2 = 16 - 9 = 7 implies b = raiz7 e é:
Substituindo e :

Passo 6

Como o semieixo maior está no eixo y^2a^2 + x^2b^2 = 1 , a equação padrão da elipse é:
y^216 + x^27 = 1
Substituindo e :

Resposta

A equação da elipse é:
y^216 + x^27 = 1

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