Determine a equação da elipse de focos e e vértices e ( ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em e e os vértices em e . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica relacionados às elipses, como distância entre focos, vértices e os parâmetros principais da equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Os focos estão em e , então o centro está no ponto médio entre eles. Calculando:
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores de e , que são os semieixos maior e menor da elipse, respectivamente. Como os vértices estão em e , isso indica que o semieixo maior está no eixo . Portanto, .
Passo 4
A distância entre os dois focos é . Calculando a distância entre e :
Passo 5
Sabemos que, em uma elipse, a relação entre , e é:
Substituindo e :
Passo 6
Como o semieixo maior está no eixo , a equação padrão da elipse é: