Mostre que em coordenadas esféricas, (r, theta, varphi), o operador nabla se escreve como:
nabla=r partialpartial r+thetar partialpartial theta+varphir sin theta partialpartial varphi

Passo 1

Então, temos uma equação que descreve o operador gradiente, representado por nabla, nas coordenadas esféricas (r, theta, varphi). Nosso objetivo é mostrar que esse operador pode ser escrito da seguinte forma:
nabla = r partialpartial r + thetar partialpartial theta + varphir sin theta partialpartial varphi
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e como o operador gradiente funciona nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas esféricas (r, theta, varphi) descrevem a posição de um ponto no espaço usando três parâmetros:
  • r: distância do ponto até a origem.
  • theta: ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo z.
  • varphi: ângulo azimutal, medindo a rotação ao redor do eixo z.
Essas coordenadas são úteis para situações com simetria esférica.

Passo 3

Agora, o operador gradiente nabla é uma ferramenta que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função em diferentes direções. Em coordenadas cartesianas, ele é definido como:
nabla = x partialpartial x + y partialpartial y + z partialpartial z
Nos coordenadas esféricas, precisamos expressar esse operador de uma forma que leve em conta a natureza curvilínea dessas coordenadas.

Passo 4

Para fazer isso, vamos utilizar as relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (r, theta, varphi):
x = r sin theta cos varphi y = r sin theta sin varphi z = r cos theta
Essas relações nos permitem expressar as derivadas parciais em termos de r, theta e varphi.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para derivadas, podemos escrever as derivadas parciais em coordenadas cartesianas em termos das coordenadas esféricas. Isso envolve calcular as derivadas de x, y, z em relação a r, theta e varphi.

Passo 6

Após calcular essas derivadas e substituir de volta na expressão do gradiente, obtemos a forma do operador nabla em coordenadas esféricas. Cada termo corresponde à direção radial r, à direção polar theta e à direção azimutal varphi, respectivamente.

Resposta

Portanto, mostramos que em coordenadas esféricas, o operador gradiente é dado por:
nabla = r partialpartial r + thetar partialpartial theta + varphir sin theta partialpartial varphi

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