Mostre que em coordenadas esféricas,
, o operador
se escreve como:
Passo 1
Então, temos uma equação que descreve o operador gradiente, representado por
, nas coordenadas esféricas
. Nosso objetivo é mostrar que esse operador pode ser escrito da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas esféricas e como o operador gradiente funciona nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas esféricas
descrevem a posição de um ponto no espaço usando três parâmetros:
-
: distância do ponto até a origem. -
: ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo . -
: ângulo azimutal, medindo a rotação ao redor do eixo .
Essas coordenadas são úteis para situações com simetria esférica.
Passo 3
Agora, o operador gradiente
é uma ferramenta que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função em diferentes direções. Em coordenadas cartesianas, ele é definido como:
Nos coordenadas esféricas, precisamos expressar esse operador de uma forma que leve em conta a natureza curvilínea dessas coordenadas.
Passo 4
Para fazer isso, vamos utilizar as relações entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
:
Essas relações nos permitem expressar as derivadas parciais em termos de
,
e
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, podemos escrever as derivadas parciais em coordenadas cartesianas em termos das coordenadas esféricas. Isso envolve calcular as derivadas de
,
,
em relação a
,
e
.
Passo 6
Após calcular essas derivadas e substituir de volta na expressão do gradiente, obtemos a forma do operador
em coordenadas esféricas. Cada termo corresponde à direção radial
, à direção polar
e à direção azimutal
, respectivamente.
Resposta
Portanto, mostramos que em coordenadas esféricas, o operador gradiente é dado por: