Demonstre as identidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar três identidades envolvendo operações vetoriais como gradiente (
), divergente (
) e rotacional (
). Essas identidades são super importantes no cálculo vetorial, especialmente em física e engenharia. Vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades básicas das derivadas parciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos demonstrar que o rotacional do gradiente de um campo escalar
é zero, ou seja:
Explicação: O gradiente de
dá um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de
. O rotacional desse campo envolve combinações de derivadas das componentes. Como as derivadas parciais são comutativas (desde que
seja suave o suficiente), todas essas combinações acabam se cancelando.
Demonstração:
Seja
.
Então,
Como
e o mesmo para as outras componentes, cada termo do rotacional se cancela, resultando em zero.
Passo 3
Agora, vamos demonstrar que o divergente do rotacional de um campo vetorial
também é zero:
Explicação: O divergente do rotacional envolve somas de derivadas que, novamente, se cancelam devido à comutatividade das derivadas parciais.
Demonstração:
Seja
.
Então,
Distribuindo as derivadas:
Como
e assim por diante, todos os termos se cancelam, deixando zero.
Passo 4
Por último, vamos mostrar que o rotacional do rotacional de um campo vetorial
é igual ao gradiente do divergente de
menos o Laplaciano de
:
Explicação: Essa identidade relaciona diferentes operações vetoriais e mostra como o rotacional do rotacional pode ser decomposto em outras operações mais simples. O Laplaciano de
, denotado por
, é aplicado componente a componente.
Demonstração:
Vamos calcular cada lado da equação.
Primeiro, calculemos
:
Seja
, então
Agora, aplicando o rotacional novamente:
Simplificando cada componente:
Para a componente x:
Para a componente y:
Para a componente z:
Agora, vamos montar os outros lados da identidade.
Primeiro, o gradiente do divergente de
:
E o Laplaciano de
:
Subtraindo o Laplaciano do gradiente do divergente:
Comparando com o que tínhamos para
, vemos que são exatamente iguais. Portanto:
Resposta
Demonstramos que: