Demonstre as identidades
nabla times(nabla Phi)=0, nabla cdot(nabla times A)=0, nabla times nabla times A=nabla(nabla cdot A)-nabla^2 A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa demonstrar três identidades envolvendo operações vetoriais como gradiente ( nabla Phi), divergente ( nabla cdot) e rotacional ( nabla times). Essas identidades são super importantes no cálculo vetorial, especialmente em física e engenharia. Vamos precisar usar as definições dessas operações e algumas propriedades básicas das derivadas parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos demonstrar que o rotacional do gradiente de um campo escalar Phi é zero, ou seja:
nabla times (nabla Phi) = 0
Explicação: O gradiente de Phi dá um campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de Phi. O rotacional desse campo envolve combinações de derivadas das componentes. Como as derivadas parciais são comutativas (desde que Phi seja suave o suficiente), todas essas combinações acabam se cancelando.
Demonstração:
Seja nabla Phi = ( partial Phipartial x, partial Phipartial y, partial Phipartial z ).
Então,
nabla times (nabla Phi) = ( partialpartial y(partial Phipartial z) - partialpartial z(partial Phipartial y), partialpartial z(partial Phipartial x) - partialpartial x(partial Phipartial z), partialpartial x(partial Phipartial y) - partialpartial y(partial Phipartial x) )
Como partial^2 Phipartial y partial z = partial^2 Phipartial z partial y e o mesmo para as outras componentes, cada termo do rotacional se cancela, resultando em zero.

Passo 3

Agora, vamos demonstrar que o divergente do rotacional de um campo vetorial A também é zero:
nabla cdot (nabla times A) = 0
Explicação: O divergente do rotacional envolve somas de derivadas que, novamente, se cancelam devido à comutatividade das derivadas parciais.
Demonstração:
Seja nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y ).
Então,
nabla cdot (nabla times A) = partialpartial x(partial Azpartial y - partial Aypartial z) + partialpartial y(partial Axpartial z - partial Azpartial x) + partialpartial z(partial Aypartial x - partial Axpartial y)
Distribuindo as derivadas:
= partial^2 Azpartial x partial y - partial^2 Aypartial x partial z + partial^2 Axpartial y partial z - partial^2 Azpartial y partial x + partial^2 Aypartial z partial x - partial^2 Axpartial z partial y
Como partial^2partial x partial y = partial^2partial y partial x e assim por diante, todos os termos se cancelam, deixando zero.

Passo 4

Por último, vamos mostrar que o rotacional do rotacional de um campo vetorial A é igual ao gradiente do divergente de A menos o Laplaciano de A:
nabla times (nabla times A) = nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A
Explicação: Essa identidade relaciona diferentes operações vetoriais e mostra como o rotacional do rotacional pode ser decomposto em outras operações mais simples. O Laplaciano de A, denotado por nabla^2 A, é aplicado componente a componente.
Demonstração:
Vamos calcular cada lado da equação.
Primeiro, calculemos nabla times (nabla times A):
Seja A = (Ax, Ay, Az), então
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z, partial Axpartial z - partial Azpartial x, partial Aypartial x - partial Axpartial y )
Agora, aplicando o rotacional novamente:
nabla times (nabla times A) = ( partialpartial y(partial Aypartial x - partial Axpartial y) - partialpartial z(partial Axpartial z - partial Azpartial x), partialpartial z(partial Azpartial y - partial Aypartial z) - partialpartial x(partial Aypartial x - partial Axpartial y), partialpartial x(partial Axpartial z - partial Azpartial x) - partialpartial y(partial Azpartial y - partial Aypartial z) )
Simplificando cada componente:
Para a componente x:
partial^2 Aypartial y partial x - partial^2 Axpartial y^2 - partial^2 Axpartial z^2 + partial^2 Azpartial z partial x
Para a componente y:
partial^2 Azpartial z partial y - partial^2 Aypartial z^2 - partial^2 Aypartial x^2 + partial^2 Axpartial x partial y
Para a componente z:
partial^2 Axpartial x partial z - partial^2 Azpartial x^2 - partial^2 Azpartial y^2 + partial^2 Aypartial y partial z
Agora, vamos montar os outros lados da identidade.
Primeiro, o gradiente do divergente de A:
nabla (nabla cdot A) = nabla ( partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z ) = ( partial^2 Axpartial x^2 + partial^2 Aypartial x partial y + partial^2 Azpartial x partial z, partial^2 Axpartial y partial x + partial^2 Aypartial y^2 + partial^2 Azpartial y partial z, partial^2 Axpartial z partial x + partial^2 Aypartial z partial y + partial^2 Azpartial z^2 )
E o Laplaciano de A:
nabla^2 A = ( partial^2 Axpartial x^2 + partial^2 Axpartial y^2 + partial^2 Axpartial z^2, partial^2 Aypartial x^2 + partial^2 Aypartial y^2 + partial^2 Aypartial z^2, partial^2 Azpartial x^2 + partial^2 Azpartial y^2 + partial^2 Azpartial z^2 )
Subtraindo o Laplaciano do gradiente do divergente:
nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A = ( partial^2 Aypartial x partial y + partial^2 Azpartial x partial z - partial^2 Axpartial y^2 - partial^2 Axpartial z^2, partial^2 Axpartial y partial x + partial^2 Azpartial y partial z - partial^2 Aypartial x^2 - partial^2 Aypartial z^2, partial^2 Axpartial z partial x + partial^2 Aypartial z partial y - partial^2 Azpartial x^2 - partial^2 Azpartial y^2 )
Comparando com o que tínhamos para nabla times (nabla times A), vemos que são exatamente iguais. Portanto:
nabla times (nabla times A) = nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A

Resposta

Demonstramos que:
nabla times (nabla Phi) = 0, nabla cdot (nabla times A) = 0, nabla times nabla times A = nabla (nabla cdot A) - nabla^2 A

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