Demonstre que o vetor unitário normal à superficie varphi(r)= constante é
n=nabla varphi|nabla varphi|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra demonstrar que o vetor normal unitário a uma superfície definida por varphi(r) = constante é dado por:
n = nabla varphi|nabla varphi|
Então, vamos precisar entender conceitos de vetores normais, gradiente e como eles se relacionam com superfícies. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície definida por varphi(r) = constante. Imagina que varphi é uma função que, para cada ponto no espaço, atribui um número. A superfície onde varphi é constante é o conjunto de todos os pontos onde essa função tem o mesmo valor. Por exemplo, se varphi for a altitude, então varphi = 5 metros seria a superfície de todos os pontos que estão a 5 metros de altitude.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o vetor normal. Um vetor normal a uma superfície é aquele que é perpendicular a todos os vetores tangentes nessa superfície. Basicamente, ele aponta “para fora” da superfície, num sentido perpendicular.

Passo 4

Aqui entra o conceito de gradiente. O gradiente de uma função varphi, denotado por nabla varphi, é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de varphi. Importante: o gradiente é sempre perpendicular às superfícies de nível de varphi, ou seja, às superfícies onde varphi é constante.
Então, para nossa superfície varphi(r) = constante, o gradiente nabla varphi é perpendicular a ela. Isso já nos dá a direção do vetor normal.

Passo 5

Porém, o gradiente nabla varphi pode ter qualquer tamanho (magnitude). Se queremos um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, precisamos normalizar o gradiente. Para isso, dividimos o gradiente pelo seu próprio módulo (comprimento):
n = nabla varphi|nabla varphi|
Isso garante que n seja um vetor com comprimento 1, mantendo a direção perpendicular à superfície.

Resposta

Portanto, demonstramos que o vetor unitário normal à superfície varphi(r) = constante é:
n = nabla varphi|nabla varphi|

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