Demonstre que o vetor unitário normal à superficie
constante é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede pra demonstrar que o vetor normal unitário a uma superfície definida por
é dado por:
Então, vamos precisar entender conceitos de vetores normais, gradiente e como eles se relacionam com superfícies. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície definida por
. Imagina que
é uma função que, para cada ponto no espaço, atribui um número. A superfície onde
é constante é o conjunto de todos os pontos onde essa função tem o mesmo valor. Por exemplo, se
for a altitude, então
metros seria a superfície de todos os pontos que estão a 5 metros de altitude.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o vetor normal. Um vetor normal a uma superfície é aquele que é perpendicular a todos os vetores tangentes nessa superfície. Basicamente, ele aponta “para fora” da superfície, num sentido perpendicular.
Passo 4
Aqui entra o conceito de gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior taxa de variação de
. Importante: o gradiente é sempre perpendicular às superfícies de nível de
, ou seja, às superfícies onde
é constante.
Então, para nossa superfície
, o gradiente
é perpendicular a ela. Isso já nos dá a direção do vetor normal.
Passo 5
Porém, o gradiente
pode ter qualquer tamanho (magnitude). Se queremos um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1, precisamos normalizar o gradiente. Para isso, dividimos o gradiente pelo seu próprio módulo (comprimento):
Isso garante que
seja um vetor com comprimento 1, mantendo a direção perpendicular à superfície.
Resposta
Portanto, demonstramos que o vetor unitário normal à superfície
é: