Mostre que as diagonais de um trapézio iósceles são congruentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Isso está dentro da matéria de Geometria, mais especificamente nos paralelogramos e propriedades de trapézios. Para resolver, a gente vai precisar usar conceitos de triângulos congruentes e propriedades de trapézios isósceles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um trapézio isósceles. É um trapézio que tem os lados não paralelos (os “lanços”) congruentes. Além disso, suas bases são paralelas e os ângulos da base são iguais.

Passo 3

Agora, desenha o trapézio isósceles e suas duas diagonais. Vamos chamar os vértices de A, B, C e D, de modo que AB e CD sejam as bases, e AD e BC sejam os lados iguais.

Passo 4

As diagonais são AC e BD. Nosso objetivo é provar que AC é igual a BD. Para isso, vamos mostrar que os triângulos formados pelas diagonais são congruentes.

Passo 5

Olha só o triângulo ABD e o triângulo CAB. A gente sabe que AD = BC porque o trapézio é isósceles. Também, os ângulos na base são iguais, então ∠ABD = ∠CAB.

Passo 6

A diagonal AB é comum a ambos os triângulos. Ent��o, temos dois lados e o ângulo entre eles congruentes nos dois triângulos.

Passo 7

Com esses três elementos congruentes (AD = BC, ∠ABD = ∠CAB e AB = AB), pelo critério de congruência LAL (Lado-Ângulo-Lado), os triângulos ABD e CAB são congruentes.

Passo 8

Como os triângulos são congruentes, então os lados correspondentes também são congruentes. Logo, AC = BD.

Resposta

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento.

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