Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que a taxa de fluxo de massa, representada por
, não é igual a
. Estamos lidando com conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre como calcular a taxa de fluxo de massa em um fluido que está se movendo através de uma área
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade média (
) e a velocidade média (
) se relacionam com a taxa de fluxo de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo representa:
-
é a taxa de fluxo de massa, ou seja, a quantidade de massa que passa por uma seção transversal por unidade de tempo. -
é a densidade média do fluido. -
é a velocidade média do fluido. -
é a área da seção transversal por onde o fluido está passando.
A fórmula básica que relaciona esses termos é:
Mas aqui estamos usando médias, então temos
e
.
Passo 3
O que muitas vezes parece ser intuitivo é que podemos simplesmente substituir os valores médios na fórmula:
No entanto, isso nem sempre é exato. A razão está em como as médias são calculadas e como elas interagem quando multiplicamos.
Passo 4
Vamos entender melhor:
- A densidade média
é calculada como a média da densidade em toda a área . - A velocidade média
é a média das velocidades em toda a área .
Quando multiplicamos
por
, estamos multiplicando duas médias, mas isso não é o mesmo que a média do produto
. Na matemática, a média do produto de duas variáveis não é necessariamente igual ao produto das médias dessas variáveis, a menos que elas sejam independentes, o que não é o caso aqui.
Passo 5
Então, se considerarmos a taxa de fluxo de massa real:
Isso significa que para cada pequeno elemento de área
, multiplicamos a densidade local
pela velocidade local
e integramos sobre toda a área
. Isso leva em conta as variações locais de densidade e velocidade.
Passo 6
Por outro lado, se usarmos as médias:
Esse produto não é igual à integral da multiplicação das funções
sobre a área
, a menos que
e
sejam constantes, ou seja, não variem no espaço.
Passo 7
Portanto, a taxa de fluxo de massa real
leva em conta as variações locais de densidade e velocidade, enquanto
assume que densidade e velocidade são médias constantes. Como a interação entre
e
pode variar, essas duas expressões geralmente não são iguais.
Resposta
Assim, mostramos que
porque a taxa de fluxo de massa real considera as variações locais de densidade e velocidade, enquanto o produto das médias não reflete essas interações.