Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente mostre que a taxa de fluxo de massa, representada por , não é igual a . Estamos lidando com conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre como calcular a taxa de fluxo de massa em um fluido que está se movendo através de uma área . Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade média ( ) e a velocidade média ( ) se relacionam com a taxa de fluxo de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo representa:
  • é a taxa de fluxo de massa, ou seja, a quantidade de massa que passa por uma seção transversal por unidade de tempo.
  • é a densidade média do fluido.
  • é a velocidade média do fluido.
  • é a área da seção transversal por onde o fluido está passando.
A fórmula básica que relaciona esses termos é:
Mas aqui estamos usando médias, então temos e .

Passo 3

O que muitas vezes parece ser intuitivo é que podemos simplesmente substituir os valores médios na fórmula:
No entanto, isso nem sempre é exato. A razão está em como as médias são calculadas e como elas interagem quando multiplicamos.

Passo 4

Vamos entender melhor:
  • A densidade média é calculada como a média da densidade em toda a área .
  • A velocidade média é a média das velocidades em toda a área .
Quando multiplicamos por , estamos multiplicando duas médias, mas isso não é o mesmo que a média do produto . Na matemática, a média do produto de duas variáveis não é necessariamente igual ao produto das médias dessas variáveis, a menos que elas sejam independentes, o que não é o caso aqui.

Passo 5

Então, se considerarmos a taxa de fluxo de massa real:
Isso significa que para cada pequeno elemento de área , multiplicamos a densidade local pela velocidade local e integramos sobre toda a área . Isso leva em conta as variações locais de densidade e velocidade.

Passo 6

Por outro lado, se usarmos as médias:
Esse produto não é igual à integral da multiplicação das funções sobre a área , a menos que e sejam constantes, ou seja, não variem no espaço.

Passo 7

Portanto, a taxa de fluxo de massa real leva em conta as variações locais de densidade e velocidade, enquanto assume que densidade e velocidade são médias constantes. Como a interação entre e pode variar, essas duas expressões geralmente não são iguais.

Resposta

Assim, mostramos que porque a taxa de fluxo de massa real considera as variações locais de densidade e velocidade, enquanto o produto das médias não reflete essas interações.

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