Uma camada de água salgada estratificada, com 10 cm de altura, escoa ao longo de um canal com largura de 1,5 m. A distribuição de velocidade, em
, é dada pela expressão
, em que y é medido, em metros
, a partir do fundo do canal. A densidade varia linearmente de
, no fundo do canal, a
, na superfície da camada. (a) Calcule a vazão mássica (
), em
, de água estratificada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma camada de água salgada estratificada com 10 cm de altura escoando ao longo de um canal com 1,5 metros de largura. A velocidade da água varia com a altura
a partir do fundo do canal, conforme a equação:
Além disso, a densidade da água varia linearmente de
no fundo para
na superfície. Queremos calcular a vazão mássica
da água estratificada.
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de massa, integrais para distribuir a velocidade e a densidade ao longo da altura da água, e a fórmula da vazão mássica.
Passo 2
A vazão mássica
é a quantidade de massa que passa por uma seção do canal por unidade de tempo. Ela pode ser calculada integrando o produto da densidade
, da velocidade
e da largura do canal
ao longo de toda a altura da água. A fórmula matemática é:
Onde:
-
é a largura do canal, -
é a altura da camada de água, -
é a densidade em função de , -
é a velocidade em função de .
Passo 3
Vamos primeiro determinar a função
, que representa como a densidade varia com a altura
. Sabemos que a densidade varia linearmente de
no fundo (
) para
na superfície (
).
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir essas expressões na fórmula da vazão mássica:
Primeiro, vamos simplificar os fatores constantes:
Passo 5
Vamos expandir o produto dentro da integral para facilitar a integração:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Passo 8
Multiplicando pelo fator externo de 18:
Resposta
A vazão mássica da água estratificada é aproximadamente
.