Uma camada de água salgada estratificada, com 10 cm de altura, escoa ao longo de um canal com largura de 1,5 m. A distribuição de velocidade, em , é dada pela expressão , em que y é medido, em metros , a partir do fundo do canal. A densidade varia linearmente de , no fundo do canal, a , na superfície da camada. (a) Calcule a vazão mássica ( ), em , de água estratificada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma camada de água salgada estratificada com 10 cm de altura escoando ao longo de um canal com 1,5 metros de largura. A velocidade da água varia com a altura a partir do fundo do canal, conforme a equação:
Além disso, a densidade da água varia linearmente de no fundo para na superfície. Queremos calcular a vazão mássica da água estratificada.
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de massa, integrais para distribuir a velocidade e a densidade ao longo da altura da água, e a fórmula da vazão mássica.

Passo 2

A vazão mássica é a quantidade de massa que passa por uma seção do canal por unidade de tempo. Ela pode ser calculada integrando o produto da densidade , da velocidade e da largura do canal ao longo de toda a altura da água. A fórmula matemática é:
Onde:
  • é a largura do canal,
  • é a altura da camada de água,
  • é a densidade em função de ,
  • é a velocidade em função de .

Passo 3

Vamos primeiro determinar a função , que representa como a densidade varia com a altura . Sabemos que a densidade varia linearmente de no fundo ( ) para na superfície ( ).
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos e é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir essas expressões na fórmula da vazão mássica:
Primeiro, vamos simplificar os fatores constantes:

Passo 5

Vamos expandir o produto dentro da integral para facilitar a integração:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Calculando cada termo:
Somando esses valores:

Passo 8

Multiplicando pelo fator externo de 18:

Resposta

A vazão mássica da água estratificada é aproximadamente .

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Mostre que
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Considere uma longa parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de . A superfície esquerda ), é submetida a um fluxo de calor uniforme enquanto a temperatura da superfície é constante. A superfície direita é submetida a transferência de calor por convecção e radiação, e a temperatura da superfície é enquanto a do ambiente é . (a) Mostre que a variação da temperatura na parede pode ser expressa por: .