Uma camada de água salgada estratificada, com 10 cm de altura, escoa ao longo de um canal com largura de 1,5 m. A distribuição de velocidade, em
, é dada pela expressão
, em que y é medido, em metros
, a partir do fundo do canal. A densidade varia linearmente de
, no fundo do canal, a
, na superfície da camada. (a) Calcule a vazão mássica (
), em
, de água estratificada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma camada de água salgada estratificada com 10 cm de altura escoando ao longo de um canal com 1,5 metros de largura. A velocidade da água varia com a altura
a partir do fundo do canal, conforme a equação:
Além disso, a densidade da água varia linearmente de
no fundo para
na superfície. Queremos calcular a vazão mássica
da água estratificada.
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de massa, integrais para distribuir a velocidade e a densidade ao longo da altura da água, e a fórmula da vazão mássica.
Passo 2
A vazão mássica
é a quantidade de massa que passa por uma seção do canal por unidade de tempo. Ela pode ser calculada integrando o produto da densidade
, da velocidade
e da largura do canal
ao longo de toda a altura da água. A fórmula matemática é:
Onde:
-
é a largura do canal, -
é a altura da camada de água, -
é a densidade em função de , -
é a velocidade em função de .
Passo 3
Vamos primeiro determinar a função
, que representa como a densidade varia com a altura
. Sabemos que a densidade varia linearmente de
no fundo (
) para
na superfície (
).
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos substituir essas expressões na fórmula da vazão mássica:
Primeiro, vamos simplificar os fatores constantes:
Passo 5
Vamos expandir o produto dentro da integral para facilitar a integração:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Passo 8
Multiplicando pelo fator externo de 18:
Resposta
A vazão mássica da água estratificada é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere um coletor solar de placa plana usado para aquecer água. A água passa através de tubos presos na parte de trás da fina placa solar. A placa coletora tem uma emissividade e uma absortividade de 0,9 . A temperatura da superfície superior (
) da placa é
, e a radiação solar incide sobre a placa com um fluxo de calor
de 500
, a uma temperatura ambiente de
coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície do absorvedor é de
, enquanto a temperatura ambiente é de
. Determine o fluxo de calor líquido (
) absorvido pelo coletor solar. R.
Mostre que
Considere uma extensa parede plana de espessura
, condutividade térmica
e área da superfície A
. O lado esquerdo da parede é mantido a uma temperatura constante
, enquanto o lado direito perde calor por convecção para o ar ambiente a
com coeficiente de transferência de calor
. Considerando uma condutividade térmica constante e ausência de geração de calor na parede, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.
Considere uma longa parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de
. A superfície esquerda
), é submetida a um fluxo de calor uniforme
enquanto a temperatura da superfície
é constante. A superfície direita é submetida a transferência de calor por convecção e radiação, e a temperatura da superfície é
enquanto a do ambiente é
. (a) Mostre que a variação da temperatura na parede pode ser expressa por:
.