Uma camada de água salgada estratificada, com 10 cm de altura, escoa ao longo de um canal com largura de 1,5 m. A distribuição de velocidade, em ms^-1, é dada pela expressão u(y)=12(y-5 y^2), em que y é medido, em metros (m), a partir do fundo do canal. A densidade varia linearmente de 1165 kgm^-3, no fundo do canal, a 1000 kgm^-3, na superfície da camada. (a) Calcule a vazão mássica ( dotm ), em kgs^-1, de água estratificada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma camada de água salgada estratificada com 10 cm de altura escoando ao longo de um canal com 1,5 metros de largura. A velocidade da água varia com a altura u(y) = 12(y - 5y^2) em ms^-1 a partir do fundo do canal, conforme a equação:
Além disso, a densidade da água varia linearmente de no fundo para na superfície. Queremos calcular a vazão mássica da água estratificada.
Vamos precisar usar conceitos de fluxo de massa, integrais para distribuir a velocidade e a densidade ao longo da altura da água, e a fórmula da vazão mássica.

Passo 2

A vazão mássica dotm = b integral0^h rho(y) , u(y) , dy é a quantidade de massa que passa por uma seção do canal por unidade de tempo. Ela pode ser calculada integrando o produto da densidade , da velocidade e da largura do canal ao longo de toda a altura da água. A fórmula matemática é:
Onde:
  • é a largura do canal,
  • é a altura da camada de água,
  • é a densidade em função de ,
  • é a velocidade em função de .

Passo 3

Vamos primeiro determinar a função rho(y) = rho0 + ( rhoh - rho0h ) y , que representa como a densidade varia com a altura rho(y) = 1165 + ( 1000 - 11650,10 ) y = 1165 - 1650y . Sabemos que a densidade varia linearmente de no fundo ( ) para na superfície ( ).
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos e é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos dotm = 1,5 integral0^0,10 (1165 - 1650y) cdot 12(y - 5y^2) , dy e dotm = 18 integral0^0,10 (1165 - 1650y)(y - 5y^2) , dy , vamos substituir essas expressões na fórmula da vazão mássica:
Primeiro, vamos simplificar os fatores constantes:

Passo 5

Vamos expandir o produto dentro da integral para facilitar a integração:
(1165 - 1650y)(y - 5y^2) = 1165y - 5825y^2 - 1650y^2 + 8250y^3
Simplificando os termos semelhantes:
= 1165y - 7475y^2 + 8250y^3

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral:
dotm = 18 integral0^0,10 ( 1165y - 7475y^2 + 8250y^3 ) dy
Vamos integrar termo a termo:
integral ( 1165y - 7475y^2 + 8250y^3 ) dy = 11652y^2 - 74753y^3 + 82504y^4

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de dotm = 18 [ ( 11652(0,10)^2 - 74753(0,10)^3 + 82504(0,10)^4 ) - 0 ] a 11652(0,10)^2 = 582,5 times 0,01 = 5,825 :
74753(0,10)^3 = 2491,6667 times 0,001 = 2,4917
Calculando cada termo:
82504(0,10)^4 = 2062,5 times 0,0001 = 0,20625
5,825 - 2,4917 + 0,20625 = 3,53955
Somando esses valores:

Passo 8

Multiplicando pelo fator externo de 18:
dotm = 18 times 3,53955 = 63,713 , kg/s

Resposta

A vazão mássica da água estratificada é aproximadamente .

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