(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
© Find a second solution using the method of reduction of order.
(b) Find one solution of the form
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente usando o método de Frobenius para encontrar soluções em série. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação indicial e, a partir delas, determinar as soluções da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação indicial. Assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo por
:
Para encontrar as raízes, consideramos o menor expoente de
, que é quando
:
Portanto, as raízes da equação indicial são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução da forma
. Este formato sugere que estamos procurando uma solução em série de potências, começando com
devido ao fator
.
Substituindo
na equação diferencial e igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
. Isso nos permite determinar os coeficientes
em termos de
, construindo assim a solução em série.
Passo 4
Para encontrar a segunda solução, usamos o método de redução de ordem. Sabemos que uma solução é
, então assumimos que a segunda solução tem a forma
, onde
é o coeficiente de
na equação diferencial.
Aplicando este método, calculamos a integral necessária, simplificamos e encontramos a forma da segunda solução
.
Resposta
As soluções da equação diferencial
são:
e
onde
são os coeficientes determinados pela relação de recorrência.