t y^prime prime+t y^prime+2 y=0
(a) Show that r=0 and r=1 are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
y1(t)=t sumn=0^infty an t^n
© Find a second solution using the method of reduction of order.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias, especificamente usando o método de Frobenius para encontrar soluções em série. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação indicial e, a partir delas, determinar as soluções da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação indicial. Assumimos uma solução da forma t (r(r-1)t^r-2) + t (r t^r-1) + 2 t^r = 0 . Substituindo na equação diferencial:
r(r-1) t^r-1 + r t^r + 2 t^r = 0
Simplificando:
r(r-1) + r t + 2 t = 0
Dividindo por r(r-1) = 0 implies r = 0 ou r = 1 :
Para encontrar as raízes, consideramos o menor expoente de , que é quando :
Portanto, as raízes da equação indicial são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução da forma . Este formato sugere que estamos procurando uma solução em série de potências, começando com devido ao fator .
Substituindo na equação diferencial e igualando os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes . Isso nos permite determinar os coeficientes em termos de , construindo assim a solução em série.

Passo 4

Para encontrar a segunda solução, usamos o método de redução de ordem. Sabemos que uma solução é , então assumimos que a segunda solução tem a forma , onde é o coeficiente de na equação diferencial.
Aplicando este método, calculamos a integral necessária, simplificamos e encontramos a forma da segunda solução .

Resposta

As soluções da equação diferencial y1(t) = t sumn=0^infty an t^n são:
y2(t) = y1(t) integral e^-integral P(t) dty1(t)^2 dt
e
onde são os coeficientes determinados pela relação de recorrência.

Exercícios relacionados