No começo da Aula 2 nós definimos, pela lei de Coulomb, a força devido a uma distribuição contínua de cargas positivas em um bastão de comprimento L. Defina agora, seguindo os mesmos princípios, a força devido a um anel e a um disco de cargas (esses desenvolvimentos são feitos no Capítulo 25 do nosso livro texto, páginas 12 e 13 , mas quero que vocês façam todos os passos detalhadamente como foi feito em sala para o bastão de cargas positivas. É possível usar o livro como um guia, disponibilizarei as páginas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a força elétrica devido a distribuições contínuas de carga em forma de anel e disco, usando a lei de Coulomb, assim como foi feito para um bastão carregado. Vamos precisar entender como aplicar a integração para somar as contribuições de cada pedacinho de carga nessas formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
F = ke q1 q2r^2 r
Aqui, é a constante eletrostática, e são as cargas, é a distância entre elas, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Quando lidamos com uma distribuição contínua de carga, como um anel ou um disco, não podemos simplesmente usar a fórmula da força de Coulomb diretamente, porque a carga está distribuída ao longo de uma extensão. Então, precisamos dividir a distribuição em elementos infinitesimais de carga ( ), calcular a força devido a cada , e depois integrar sobre toda a distribuição.

Passo 4

Força de um Anel de Carga:
Vamos considerar um anel de raio dF = ke dq q(R^2 + x^2) r com uma carga total Fx = integral dFx = ke Q q x(R^2 + x^2)^3/2 igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo do anel, a uma distância do centro.
  1. Distribuição de Carga: A carga por unidade de comprimento no anel é .
  2. Elemento de Carga: Um pequeno elemento de comprimento (onde é o ângulo) tem carga .
  3. Força Elementar: A força devido a no ponto é: Aqui, é a carga de teste no ponto.
  4. Direção da Força: As componentes laterais das forças de elementos opostos do anel se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
  5. Componente Axial: A componente axial de é , onde .
  6. Integração: Integrando ao redor do anel:

Passo 5

Força de um Disco de Carga:
Agora, vamos para o disco de raio dFx = ke dq q x(r^2 + x^2)^3/2 com carga total Fx = integral0^R ke 2pi sigma r q x(r^2 + x^2)^3/2 dr igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo, a uma distância Fx = ke 2pi sigma q x2 integralx^2^R^2 + x^2 u^-3/2 du = ke pi sigma q x [ -2 u^-1/2 ]x^2^R^2 + x^2 do centro.
  1. Distribuição de Carga: A densidade de carga superficial é Fx = ke pi sigma q x ( 2raizx^2 - 2raizR^2 + x^2 ) = ke 2Q q x(R^2 + x^2)^1/2 x (R^2 + x^2) .
  2. Elemento de Carga: Considere um anel de raio Fx = ke Q q(R^2 + x^2)^1/2 e espessura no disco. A área desse anel é , então a carga é .
  3. Força Elementar: A força de cada anel no ponto é similar ao caso anterior:
  4. Integração: Integramos de até :
  5. Resolver a Integral: Fazendo a substituição , : Simplificando:

Resposta

As forças elétricas resultantes devido a um anel e a um disco de cargas são, respectivamente:
Para o anel:
Fx = ke Q q x(R^2 + x^2)^3/2
Para o disco:
Fx = ke Q q(R^2 + x^2)^1/2

Exercícios relacionados