No começo da Aula 2 nós definimos, pela lei de Coulomb, a força devido a uma distribuição contínua de cargas positivas em um bastão de comprimento
. Defina agora, seguindo os mesmos princípios, a força devido a um anel e a um disco de cargas (esses desenvolvimentos são feitos no Capítulo 25 do nosso livro texto, páginas 12 e 13 , mas quero que vocês façam todos os passos detalhadamente como foi feito em sala para o bastão de cargas positivas. É possível usar o livro como um guia, disponibilizarei as páginas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a força elétrica devido a distribuições contínuas de carga em forma de anel e disco, usando a lei de Coulomb, assim como foi feito para um bastão carregado. Vamos precisar entender como aplicar a integração para somar as contribuições de cada pedacinho de carga nessas formas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
Aqui,
é a constante eletrostática,
e
são as cargas,
é a distância entre elas, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Quando lidamos com uma distribuição contínua de carga, como um anel ou um disco, não podemos simplesmente usar a fórmula da força de Coulomb diretamente, porque a carga está distribuída ao longo de uma extensão. Então, precisamos dividir a distribuição em elementos infinitesimais de carga (
), calcular a força devido a cada
, e depois integrar sobre toda a distribuição.
Passo 4
Força de um Anel de Carga:
Vamos considerar um anel de raio
com uma carga total
igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo do anel, a uma distância
do centro.
- Distribuição de Carga: A carga por unidade de comprimento no anel é
. - Elemento de Carga: Um pequeno elemento de comprimento
(onde é o ângulo) tem carga . - Força Elementar: A força devido a
no ponto é: Aqui, é a carga de teste no ponto. - Direção da Força: As componentes laterais das forças de elementos opostos do anel se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
- Componente Axial: A componente axial de
é , onde . - Integração: Integrando ao redor do anel:
Passo 5
Força de um Disco de Carga:
Agora, vamos para o disco de raio
com carga total
igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo, a uma distância
do centro.
- Distribuição de Carga: A densidade de carga superficial é
. - Elemento de Carga: Considere um anel de raio
e espessura no disco. A área desse anel é , então a carga é . - Força Elementar: A força de cada anel no ponto é similar ao caso anterior:
- Integração: Integramos de
até : - Resolver a Integral: Fazendo a substituição
, : Simplificando:
Resposta
As forças elétricas resultantes devido a um anel e a um disco de cargas são, respectivamente:
Para o anel:
Para o disco: