No começo da Aula 2 nós definimos, pela lei de Coulomb, a força devido a uma distribuição contínua de cargas positivas em um bastão de comprimento . Defina agora, seguindo os mesmos princípios, a força devido a um anel e a um disco de cargas (esses desenvolvimentos são feitos no Capítulo 25 do nosso livro texto, páginas 12 e 13 , mas quero que vocês façam todos os passos detalhadamente como foi feito em sala para o bastão de cargas positivas. É possível usar o livro como um guia, disponibilizarei as páginas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a força elétrica devido a distribuições contínuas de carga em forma de anel e disco, usando a lei de Coulomb, assim como foi feito para um bastão carregado. Vamos precisar entender como aplicar a integração para somar as contribuições de cada pedacinho de carga nessas formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
Aqui, é a constante eletrostática, e são as cargas, é a distância entre elas, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Quando lidamos com uma distribuição contínua de carga, como um anel ou um disco, não podemos simplesmente usar a fórmula da força de Coulomb diretamente, porque a carga está distribuída ao longo de uma extensão. Então, precisamos dividir a distribuição em elementos infinitesimais de carga ( ), calcular a força devido a cada , e depois integrar sobre toda a distribuição.

Passo 4

Força de um Anel de Carga:
Vamos considerar um anel de raio com uma carga total igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo do anel, a uma distância do centro.
  1. Distribuição de Carga: A carga por unidade de comprimento no anel é .
  2. Elemento de Carga: Um pequeno elemento de comprimento (onde é o ângulo) tem carga .
  3. Força Elementar: A força devido a no ponto é: Aqui, é a carga de teste no ponto.
  4. Direção da Força: As componentes laterais das forças de elementos opostos do anel se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
  5. Componente Axial: A componente axial de é , onde .
  6. Integração: Integrando ao redor do anel:

Passo 5

Força de um Disco de Carga:
Agora, vamos para o disco de raio com carga total igualmente distribuída. Queremos encontrar a força elétrica resultante em um ponto ao longo do eixo, a uma distância do centro.
  1. Distribuição de Carga: A densidade de carga superficial é .
  2. Elemento de Carga: Considere um anel de raio e espessura no disco. A área desse anel é , então a carga é .
  3. Força Elementar: A força de cada anel no ponto é similar ao caso anterior:
  4. Integração: Integramos de até :
  5. Resolver a Integral: Fazendo a substituição , : Simplificando:

Resposta

As forças elétricas resultantes devido a um anel e a um disco de cargas são, respectivamente:
Para o anel:
Para o disco:

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