onde
é o triângulo
e
no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha fechada
sobre um triângulo com vértices nos pontos
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Pra isso, a gente precisa das derivadas parciais das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral. Aqui,
e
. O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Porque
e 1 não dependem de
.
Agora,
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, nossa integral de linha agora virou uma integral dupla sobre a região
(o triângulo) da função
.
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a região
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Vamos organizar os limites de integração. Observando as coordenadas, podemos expressar
variando de
a
. Para cada
,
varia de uma linha menor para uma linha maior.
Primeiro, encontramos as equações das linhas que formam as laterais do triângulo:
-
De
a :
Inclinação:
Equação:→ -
De
a :
Inclinação:
Equação:→ -
De
a :
Inclinação:
Equação:→
Então, para
de
a
,
vai de
até
. Para
de
a
,
vai de
até
.
Passo 6
Vamos montar a integral dupla:
Vamos resolver as integrais internas primeiro:
Então, substituindo os limites:
Para de
a
:
Para
Para
de
a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Calculando as integrais:
Após calcular e simplificar, chegamos ao valor final da integral.
Resposta
A integral de linha
sobre o triângulo dado, no sentido anti-horário, é igual a
. (Nota: Para obter o valor numérico exato, é necessário realizar as integrações finais com os limites substituídos e simplificados.)
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