Mostre que se a equação x^3-a x^2+b x-c=0, na qual a, b e c são números positivos e possuem três raízes reais, então a^6 >= 27 b^3 >= 729 c^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação do terceiro grau: , onde , e são números positivos. Sabemos que essa equação tem três raízes reais. Nosso objetivo é mostrar que . Para resolver isso, vamos usar as relações entre os coeficientes da equação e as raízes, além de aplicar algumas desigualdades matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação do terceiro grau da forma r1 + r2 + r3 = a , se as raízes são r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 = b , r1 r2 r3 = c e , então, pelas relações de Vieta, temos:
Essas fórmulas nos conectam os coeficientes da equação com as raízes.

Passo 3

Agora, como todos os coeficientes , e são positivos e as raízes são reais, podemos supor que todas as raízes , e são positivas. Isso porque se houvesse raízes negativas, algum coeficiente poderia ser negativo, o que não é o caso.

Passo 4

Vamos usar a desigualdade da média aritmética e a média geométrica (AM ��� GM). Para três números positivos, temos:
r1 + r2 + r33 >= raiz[3]r1 r2 r3
Substituindo pelas relações de Vieta:
a3 >= raiz[3]c
Elevando ambos os lados ao cubo:
(a3)^3 >= c
a^327 >= c
a^3 >= 27 c

Passo 5

Agora, vamos relacionar r1 r2 + r1 r3 + r2 r33 >= raiz[3]r1 r2 r3 cdot r1 + r2 + r3 e b3 >= raiz[3]r1 r2 r3 cdot r1 r2 r3 . Usando novamente as relações de Vieta e a desigualdade AM ≥ GM para os termos b3 >= raiz[3]c^2 , temos:
b3 >= c^2/3
Mas é mais direto observar que (b3)^3 >= c^2 . Usando a desigualdade AM ≥ GM para estes produtos:
b^327 >= c^2
b^3 >= 27 c^2
Elevando ambos os lados à potência de 3:

Passo 6

Finalmente, combinando as desigualdades que obtivemos:
a^3 >= 27 c
e
b^3 >= 27 c^2
Podemos elevar a primeira desigualdade ao quadrado para relacionar (a^3)^2 >= (27 c)^2 com a^6 >= 729 c^2 :
a^6 >= 27 b^3 >= 729 c^2
Como já temos , juntando tudo:

Resposta

Portanto, mostramos que para a equação dada com coeficientes positivos e três raízes reais.

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