Mostre que se a equação , na qual e são números positivos e possuem três raízes reais, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação do terceiro grau: , onde , e são números positivos. Sabemos que essa equação tem três raízes reais. Nosso objetivo é mostrar que . Para resolver isso, vamos usar as relações entre os coeficientes da equação e as raízes, além de aplicar algumas desigualdades matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação do terceiro grau da forma , se as raízes são , e , então, pelas relações de Vieta, temos:
Essas fórmulas nos conectam os coeficientes da equação com as raízes.

Passo 3

Agora, como todos os coeficientes , e são positivos e as raízes são reais, podemos supor que todas as raízes , e são positivas. Isso porque se houvesse raízes negativas, algum coeficiente poderia ser negativo, o que não é o caso.

Passo 4

Vamos usar a desigualdade da média aritmética e a média geométrica (AM ��� GM). Para três números positivos, temos:
Substituindo pelas relações de Vieta:
Elevando ambos os lados ao cubo:

Passo 5

Agora, vamos relacionar e . Usando novamente as relações de Vieta e a desigualdade AM ≥ GM para os termos , temos:
Mas é mais direto observar que . Usando a desigualdade AM ≥ GM para estes produtos:
Elevando ambos os lados à potência de 3:

Passo 6

Finalmente, combinando as desigualdades que obtivemos:
e
Podemos elevar a primeira desigualdade ao quadrado para relacionar com :
Como já temos , juntando tudo:

Resposta

Portanto, mostramos que para a equação dada com coeficientes positivos e três raízes reais.

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