Mostre que se a equação
, na qual
e
são números positivos e possuem três raízes reais, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação do terceiro grau:
, onde
,
e
são números positivos. Sabemos que essa equação tem três raízes reais. Nosso objetivo é mostrar que
. Para resolver isso, vamos usar as relações entre os coeficientes da equação e as raízes, além de aplicar algumas desigualdades matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma equação do terceiro grau da forma
, se as raízes são
,
e
, então, pelas relações de Vieta, temos:
Essas fórmulas nos conectam os coeficientes da equação com as raízes.
Passo 3
Agora, como todos os coeficientes
,
e
são positivos e as raízes são reais, podemos supor que todas as raízes
,
e
são positivas. Isso porque se houvesse raízes negativas, algum coeficiente poderia ser negativo, o que não é o caso.
Passo 4
Vamos usar a desigualdade da média aritmética e a média geométrica (AM ��� GM). Para três números positivos, temos:
Substituindo pelas relações de Vieta:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Passo 5
Agora, vamos relacionar
e
. Usando novamente as relações de Vieta e a desigualdade AM ≥ GM para os termos
, temos:
Mas é mais direto observar que
. Usando a desigualdade AM ≥ GM para estes produtos:
Elevando ambos os lados à potência de 3:
Passo 6
Finalmente, combinando as desigualdades que obtivemos:
e
Podemos elevar a primeira desigualdade ao quadrado para relacionar
com
:
Como já temos
, juntando tudo:
Resposta
Portanto, mostramos que
para a equação dada com coeficientes positivos e três raízes reais.
Exercícios relacionados
Prove que
, para quaisquer
reais.
Prove que a média geométrica
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
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.
OBS: Se a maior variância não for 2 vezes ou mais que a menor, considere variâncias populacionais homogêneas.
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