Prove que , para quaisquer reais.

Passo 1

Vamos provar que para quaisquer números reais , e , a expressão é maior ou igual a . Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra, especificamente trabalhando com quadrados de diferenças para demonstrar essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as diferenças entre os números , e . Vamos calcular os quadrados dessas diferenças: , e . Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, maior ou igual a zero.

Passo 3

Calculando, temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir cada um desses quadrados:
Simplificando os termos, ficamos com:

Passo 5

Vamos dividir todos os termos da inequação por 2 para simplificar:

Passo 6

Por fim, rearranjando os termos da inequação, temos:

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer números reais , e .

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