Prove que x^2+y^2+z^2 >= x y+y z+z x, para quaisquer x, y e z reais.

Passo 1

Vamos provar que para quaisquer números reais x, y e z, a expressão x^2 + y^2 + z^2 é maior ou igual a x y + y z + z x. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra, especificamente trabalhando com quadrados de diferenças para demonstrar essa desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as diferenças entre os números x, y e z. Vamos calcular os quadrados dessas diferenças: (x - y)^2, (y - z)^2 e (z - x)^2. Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, maior ou igual a zero.

Passo 3

Calculando, temos:
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 >= 0

Passo 4

Agora, vamos expandir cada um desses quadrados:
(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) >= 0
Simplificando os termos, ficamos com:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx >= 0

Passo 5

Vamos dividir todos os termos da inequação por 2 para simplificar:
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx >= 0

Passo 6

Por fim, rearranjando os termos da inequação, temos:
x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + zx

Resposta

Portanto, provamos que x^2 + y^2 + z^2 >= x y + y z + z x para quaisquer números reais x, y e z.

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