Prove que
, para quaisquer
reais.
Passo 1
Vamos provar que para quaisquer números reais
,
e
, a expressão
é maior ou igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra, especificamente trabalhando com quadrados de diferenças para demonstrar essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as diferenças entre os números
,
e
. Vamos calcular os quadrados dessas diferenças:
,
e
. Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, maior ou igual a zero.
Passo 3
Calculando, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada um desses quadrados:
Simplificando os termos, ficamos com:
Passo 5
Vamos dividir todos os termos da inequação por 2 para simplificar:
Passo 6
Por fim, rearranjando os termos da inequação, temos:
Resposta
Portanto, provamos que
para quaisquer números reais
,
e
.