Prove que
, para quaisquer
reais.
Passo 1
Vamos provar que para quaisquer números reais
,
e
, a expressão
é maior ou igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra, especificamente trabalhando com quadrados de diferenças para demonstrar essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as diferenças entre os números
,
e
. Vamos calcular os quadrados dessas diferenças:
,
e
. Sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo, ou seja, maior ou igual a zero.
Passo 3
Calculando, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada um desses quadrados:
Simplificando os termos, ficamos com:
Passo 5
Vamos dividir todos os termos da inequação por 2 para simplificar:
Passo 6
Por fim, rearranjando os termos da inequação, temos:
Resposta
Portanto, provamos que
para quaisquer números reais
,
e
.
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Prove que a média geométrica
de uma lista de
números satisfaz
, onde
e
são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
Qual o valor mínimo de
positivo?
Mostre que se a equação
, na qual
e
são números positivos e possuem três raízes reais, então
.
- Considere um grupo de indivíduos entre 24 e 30 anos que fizeram o Teste de Atenção Dividida TEADI (Rueda, 2010) para a renovação da Carteira Nacional de Habilitação (CNH). As pontuações obtidas, que podem atingir um máximo de 180, são dadas a seguir para os grupos de homens e mulheres. De acordo com o resultado do teste diga se é necessário a criação de normas distintas para a aplicação do TEADI em função do sexo. Use nível de significância de
.
OBS: Se a maior variância não for 2 vezes ou mais que a menor, considere variâncias populacionais homogêneas.