Quando giramos o gráfico de uma função de classe C^1, y=f(x) >= 0, a <= x <= b, em torno do eixo 0 x, obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral
S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+(f^prime(x))^2 d x
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno de 0 x do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.
a) f(x)=raizx, 0 <= x <= 1
b) f(x)=e^x, 0 <= x <= 1
c) f(x)=raiz1-4 x^2,-1 / 2 <= x <= 1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação do gráfico de algumas funções em torno do eixo S = integrala^b 2 pi f(x) raiz1 + (f^prime(x))^2 , dx . A fórmula que vamos usar é:
Essa fórmula nos dá a área da superfície de revolução para uma função contínua e diferenciável no intervalo . Precisamos calcular essa integral para cada função indicada no enunciado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) onde f'(x) = ddx raizx = 12raizx no intervalo S = integral0^1 2 pi raizx raiz1 + (12raizx)^2 , dx .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de 1 + (12raizx)^2 = 1 + 14x = 4x + 14x :
S = 2 pi integral0^1 raizx cdot raiz4x + 14x , dx = 2 pi integral0^1 raizx cdot raiz4x + 12raizx , dx
Agora, substituímos S = pi integral0^1 raiz4x + 1 , dx e S = pi cdot 14 integral1^5 raizu , du = pi4 cdot [ 23 u^3/2 ]1^5 = pi6 (5^3/2 - 1^3/2) na fórmula da área:
5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
1^3/2 = 1
Portanto, a integral fica:
S = pi6 (5raiz5 - 1)
Simplificando mais:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então ou . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 3

Agora vamos para a parte b) onde f'(x) = ddx e^x = e^x no intervalo S = integral0^1 2 pi e^x raiz1 + (e^x)^2 , dx = 2 pi integral0^1 e^x raiz1 + e^2x , dx .
Primeiro, calculamos a derivada de e^x raiz1 + e^2x , dx = 12 raizu , du :
S = 2 pi cdot 12 integralu(0)^u(1) raizu , du = pi integral1 + e^0^1 + e^2 raizu , du = pi integral2^1 + e^2 u^1/2 , du
Substituímos pi [ 23 u^3/2 ]2^1 + e^2 = 2pi3 ( (1 + e^2)^3/2 - 2^3/2 ) e S = 2pi3 ( (1 + e^2)^3/2 - 2raiz2 ) na fórmula da área:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então .
Observamos que:
Portanto:
Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, vamos para a parte c) onde f'(x) = ddx raiz1 - 4x^2 = 12raiz1 - 4x^2 cdot (-8x) = -4xraiz1 - 4x^2 no intervalo S = integral-1/2^1/2 2 pi raiz1 - 4x^2 raiz1 + (-4xraiz1 - 4x^2)^2 , dx .
Primeiro, calculamos a derivada de 1 + (-4xraiz1 - 4x^2)^2 = 1 + 16x^21 - 4x^2 = 1 - 4x^2 + 16x^21 - 4x^2 = 1 + 12x^21 - 4x^2 :
S = 2 pi integral-1/2^1/2 raiz1 - 4x^2 cdot raiz1 + 12x^21 - 4x^2 , dx = 2 pi integral-1/2^1/2 raiz1 + 12x^2 , dx
Substituímos S = 4 pi integral0^1/2 raiz1 + 12x^2 , dx e S = 4 pi [ x2 raiz1 + 12x^2 + arcsinh(raiz12x)raiz12 ]0^1/2 na fórmula da área:
S = 4 pi ( 12 cdot raiz1 + 12 cdot (12)^2 + arcsinh(raiz12 cdot 12)raiz12 - 0 )
Simplificando a expressão dentro da raiz:
S = 4 pi ( 12 cdot raiz1 + 3 + arcsinh(raiz3)raiz12 ) = 4 pi ( 12 cdot 2 + ln(raiz3 + 2)2raiz3 ) = 4 pi (1 + ln(raiz3 + 2)2raiz3 )
Portanto, a integral fica:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar a integral de a para o dobro da integral de a :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , mas isso envolve integrais mais avançadas que resultam em funções elípticas. Portanto, a expressão para a área fica:
Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

a) A área da superfície de revolução é .
b) A área da superfície de revolução é .
c) A área da superfície de revolução é .

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