Quando giramos o gráfico de uma função de classe , em torno do eixo , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral

( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno de do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação do gráfico de algumas funções em torno do eixo . A fórmula que vamos usar é:
Essa fórmula nos dá a área da superfície de revolução para uma função contínua e diferenciável no intervalo . Precisamos calcular essa integral para cada função indicada no enunciado.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) onde no intervalo .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Agora, substituímos e na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Simplificando mais:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então ou . Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 3

Agora vamos para a parte b) onde no intervalo .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituímos e na fórmula da área:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então .
Observamos que:
Portanto:
Calculando a integral:
Simplificando:

Passo 4

Por fim, vamos para a parte c) onde no intervalo .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituímos e na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos simplificar a integral de a para o dobro da integral de a :
Para resolver essa integral, fazemos a substituição , mas isso envolve integrais mais avançadas que resultam em funções elípticas. Portanto, a expressão para a área fica:
Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

a) A área da superfície de revolução é .
b) A área da superfície de revolução é .
c) A área da superfície de revolução é .

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