Quando giramos o gráfico de uma função de classe
, em torno do eixo
, obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno de
do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.
a)
b)
c)
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno de
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a área da superfície gerada pela rotação do gráfico de algumas funções em torno do eixo
. A fórmula que vamos usar é:
Essa fórmula nos dá a área da superfície de revolução para uma função
contínua e diferenciável no intervalo
. Precisamos calcular essa integral para cada função indicada no enunciado.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) onde
no intervalo
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Simplificando mais:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
ou
. Quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 3
Agora vamos para a parte b) onde
no intervalo
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituímos
e
na fórmula da área:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
.
Observamos que:
Portanto:
Calculando a integral:
Simplificando:
Passo 4
Por fim, vamos para a parte c) onde
no intervalo
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituímos
e
na fórmula da área:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos simplificar a integral de
a
para o dobro da integral de
a
:
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, mas isso envolve integrais mais avançadas que resultam em funções elípticas. Portanto, a expressão para a área fica:
Calculando os limites:
Simplificando:
Resposta
a) A área da superfície de revolução é
.
b) A área da superfície de revolução é .
c) A área da superfície de revolução é .
b) A área da superfície de revolução é
c) A área da superfície de revolução é
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.
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, se
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. (sugestēo:
)