Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que parece um pouco complicada:
. Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma circunferência e descobrir onde está o centro dela e qual é o raio. Para isso, vamos precisar usar um método chamado completar o quadrado, que vai ajudar a gente a reescrever a equação de um jeito mais fácil de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso deixa a equação assim:
Passo 4
Fazemos o mesmo com os termos de
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação somando os constantes:
Adicionando 29 em ambos os lados para isolar os termos ao quadrado:
Passo 6
Pronto! Agora a equação está na forma padrão da circunferência:
Onde
é o centro e
é o raio.
Comparando com a nossa equação:
Resposta
A equação representa uma circunferência com centro em
e raio
.
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(a)
(a)
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(a)
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é uma antiderivada de
.
(a)
(a)