Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio. x^2 + y^2 - 4x + 10y + 13 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que parece um pouco complicada: . Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma circunferência e descobrir onde está o centro dela e qual é o raio. Para isso, vamos precisar usar um método chamado completar o quadrado, que vai ajudar a gente a reescrever a equação de um jeito mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso deixa a equação assim:

Passo 4

Fazemos o mesmo com os termos de . Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:
Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação somando os constantes:
Adicionando 29 em ambos os lados para isolar os termos ao quadrado:

Passo 6

Pronto! Agora a equação está na forma padrão da circunferência:
Onde é o centro e é o raio.
Comparando com a nossa equação:

Resposta

A equação representa uma circunferência com centro em e raio .

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