Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular
usando a substituição
. Isso envolve usar a técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a substituição que foi dada:
. Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de
em vez de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Então:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
.
Passo 4
Isolando
:
Vamos substituir isso na integral original.
Passo 5
Substituindo
por
e
por
na integral:
Simplificando a expressão dentro do cosseno:
Passo 6
Fatorando a constante
para fora da integral:
Agora, a integral está em termos de
, o que facilita a resolução.
Passo 7
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão com a constante fatorada:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, substituímos de volta para termos
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
Calcule as integrais indefinidas
(a)
(a)
Verifique diretamente que
é uma antiderivada de
.
(a)
(a)
Verifique diretamente que
é uma antiderivada de
.
(b)
(b)