Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a) integral cos (2 x) d x, u=3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular usando a substituição . Isso envolve usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a substituição que foi dada: . Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de em vez de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx , que é a derivada de em relação a . Então:
Isso nos ajuda a expressar em termos de .

Passo 4

Isolando dx = du3 :
Vamos substituir isso na integral original.

Passo 5

Substituindo integral cos(2x) , dx = integral cos(2 cdot u3) cdot du3 por cos(2u3) cdot du3 e por na integral:
Simplificando a expressão dentro do cosseno:

Passo 6

Fatorando a constante 13 integral cos(2u3) , du para fora da integral:
Agora, a integral está em termos de , o que facilita a resolução.

Passo 7

Sabemos que a integral de integral cos(2u3) , du = 32 sin(2u3) + C em relação a é , onde é uma constante. No nosso caso, :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão com a constante fatorada:
13 cdot 32 sin(2u3) + C = 12 sin(2u3) + C

Passo 9

Finalmente, lembrando que 12 sin(2 cdot 3x3) + C = 12 sin(2x) + C , substituímos de volta para termos :

Resposta

A integral é igual a .

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