Verifique diretamente que F é uma antiderivada de f.
(a) F(x) = (1/3) x^3 + 2 x^2 - x + 2 ; f(x) = x^2 + 4 x - 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: e . A gente precisa verificar se é uma antiderivada de . Basicamente, isso significa que vamos checar se a derivada de é igual a . Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Lembra que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então, vamos derivar cada termo de separadamente.

Passo 3

Vamos lá:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (uma constante) é .
Então, juntando tudo, temos:

Passo 4

Agora, vamos comparar a derivada que encontramos, , com a função dada na questão, que é exatamente . Vimos que elas são iguais!

Resposta

Sim, é uma antiderivada de , pois .

Exercícios relacionados

Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a) integral cos (2 x) d x, u=3 x
Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio. x^2 + y^2 - 4x + 10y + 13 = 0
Verifique diretamente que F é uma antiderivada de f.
(b) F(x) = x * e^x + pi; f(x) = e^x * (1 + x)
Seja
f(z)= x^3 y(y-i x)x^6+y^2 & se z neq 0 0 & se z=0
Mostre que f(z)-f(0)z-0 0 para z 0 ao longo de qualquer reta passando pela origem, mas que lim z 0 f(z)-f(0)z-0 não existe.