Mostre que a equação x^2+y^2-2 z^2=0 representa um cone. Identifique as suas direções principais e vértice.**

Passo 1

Vamos analisar a equação . O objetivo é mostrar que ela representa um cone. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas e suas representações. Precisaremos entender a forma geral das equações de segundo grau e como identificar diferentes superfícies geométricas a partir delas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a estrutura da equação . Essa é uma equação de segundo grau nas variáveis , e . Em geometria analítica, equações quadráticas podem representar diferentes superfícies, como esferas, paraboloides, hiperboloides e cones.

Passo 3

Para identificar qual superfície a equação representa, observamos os coeficientes de cada termo quadrático. No caso, os coeficientes de e são positivos, enquanto o coeficiente de é negativo. Quando temos dois termos quadráticos com sinais positivos e um com sinal negativo, geralmente isso indica um hiperboloide de uma folha ou um cone, dependendo de outros fatores.

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
x^2 + y^2 = 2 z^2
Agora, para simplificar, podemos dividir ambos os lados da equação por 2:
x^22 + y^22 = z^2
Essa forma nos lembra a equação padrão de um cone de duas folhas, que é:
x^2a^2 + y^2b^2 = z^2
Comparando com a nossa equação, vemos que e , indicando que o cone é circular (pois ).

Passo 5

Com isso, concluímos que a equação representa um cone.
Agora, vamos identificar as direções principais e o vértice do cone:
  • Vértice: O vértice do cone é o ponto onde todas as geratrizes (linhas que formam o cone) se encontram. Na equação dada, não há termos lineares ou constantes, o que indica que o vértice está na origem, ou seja, .
  • Direções Principais: As direções principais de um cone são as direções dos eixos da base do cone. No nosso caso, como os coeficientes de e são iguais, as direções principais estão alinhadas com os eixos e .

Resposta

A equação representa um cone com vértice na origem e direções principais alinhadas com os eixos e .

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