Mostre que a equação
representa um cone. Identifique as suas direções principais e vértice.**
Passo 1
Vamos analisar a equação
. O objetivo é mostrar que ela representa um cone. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas e suas representações. Precisaremos entender a forma geral das equações de segundo grau e como identificar diferentes superfícies geométricas a partir delas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a estrutura da equação
. Essa é uma equação de segundo grau nas variáveis
,
e
. Em geometria analítica, equações quadráticas podem representar diferentes superfícies, como esferas, paraboloides, hiperboloides e cones.
Passo 3
Para identificar qual superfície a equação representa, observamos os coeficientes de cada termo quadrático. No caso, os coeficientes de
e
são positivos, enquanto o coeficiente de
é negativo. Quando temos dois termos quadráticos com sinais positivos e um com sinal negativo, geralmente isso indica um hiperboloide de uma folha ou um cone, dependendo de outros fatores.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
Agora, para simplificar, podemos dividir ambos os lados da equação por 2:
Essa forma nos lembra a equação padrão de um cone de duas folhas, que é:
Comparando com a nossa equação, vemos que
e
, indicando que o cone é circular (pois
).
Passo 5
Com isso, concluímos que a equação
representa um cone.
Agora, vamos identificar as direções principais e o vértice do cone:
-
Vértice: O vértice do cone é o ponto onde todas as geratrizes (linhas que formam o cone) se encontram. Na equação dada, não há termos lineares ou constantes, o que indica que o vértice está na origem, ou seja,
. -
Direções Principais: As direções principais de um cone são as direções dos eixos da base do cone. No nosso caso, como os coeficientes de
e são iguais, as direções principais estão alinhadas com os eixos e .
Resposta
A equação
representa um cone com vértice na origem
e direções principais alinhadas com os eixos
e
.