Qual o valor de a para que os vetores u=a i+2 j-4 k e v=2 i+(1- 2 a) j+3 k sejam ortogonais?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial. A questão pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores e sejam ortogonais. Para isso, precisamos usar o conceito de produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de u cdot v = (a)(2) + (2)(1 - 2a) + (-4)(3) e é calculado multiplicando os componentes correspondentes e somando esses produtos:

Passo 3

Agora, vamos realizar as multiplicações:
u cdot v = 2a + 2(1) - 2(2a) + (-12)
u cdot v = 2a + 2 - 4a - 12

Passo 4

Em seguida, combinamos os termos semelhantes:
2a - 4a + 2 - 12 = -2a - 10

Passo 5

Como os vetores devem ser ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
-2a - 10 = 0

Passo 6

Resolvemos essa equação para encontrar o valor de -2a = 10 :
a = 10-2
a = -5

Resposta

O valor de que faz os vetores e serem ortogonais é .

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