4^ a Questão - [Vale 2,0 pontos] Dado o triângulo cujos vértices sã̃ A= (1.1), B=(4,0) e C=(3,4) determine:
(a) o ângulo B;
(b) a projeção do lado B C sobre o lado A B;
© calcule a área do triângulo A B C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices em , e . Precisamos determinar:
a) O ângulo no vértice ;
b) A projeção do lado sobre o lado ;
c) A área do triângulo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de ângulos entre vetores, projeção de vetores e cálculo de área usando determinantes.

Passo 2

a) Determinar o ângulo no vértice BA = A - B = (1-4, 1-0) = (-3, 1) :
Primeiro, vamos encontrar os vetores BC = C - B = (3-4, 4-0) = (-1, 4) e cos theta = BA cdot BC|BA| cdot |BC| .
  • Coordenadas dos pontos:
  • Vetores:
Para achar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno:
onde é o produto escalar e e são os módulos dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Produto Escalar:
    BA cdot BC = (-3)(-1) + (1)(4) = 3 + 4 = 7
  2. Módulos dos Vetores:
    |BA| = raiz(-3)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 = raiz10
    |BC| = raiz(-1)^2 + 4^2 = raiz1 + 16 = raiz17
  3. Aplicando na Fórmula do Cosseno:
    cos theta = 7raiz10 cdot raiz17 = 7raiz170 approx 0,537
    theta = cos^-1(0,537) approx 57,42^circ

Passo 4

b) Projeção do lado AB = B - A = (4-1, 0-1) = (3, -1) sobre o lado ProjAB BC = ( BC cdot AB|AB|^2 ) AB :
Primeiro, encontramos o vetor BC cdot AB = (-1)(3) + (4)(-1) = -3 -4 = -7 :
|AB|^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10
A projeção de ProjAB BC = ( -710 ) (3, -1) = ( -2110, 710 ) = ( -2,1.4 ) sobre é dada por:
Calculando passo a passo:
  1. Produto Escalar:
  2. Módulo ao Quadrado de :
  3. Projeção:

Passo 5

c) Calcular a área do triângulo Área = 12 | det 1 & 1 & 1 4 & 0 & 1 3 & 4 & 1 | :
Vamos usar a fórmula do determinante para achar a área:
det = 1(0 cdot 1 - 4 cdot 1) - 1(4 cdot 1 - 3 cdot 1) + 1(4 cdot 4 - 0 cdot 3) = -4 -1 +16 = 11 Á
Calculando o determinante:
Área = 12 times 11 = 5,5
Á

Resposta

a) O ângulo em é aproximadamente ;
b) A projeção do lado sobre o lado é o vetor ;
c) A área do triângulo é unidades de área.

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