Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um triângulo com vértices em , e . Precisamos determinar:
a) O ângulo no vértice ;
b) A projeção do lado sobre o lado ;
c) A área do triângulo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de ângulos entre vetores, projeção de vetores e cálculo de área usando determinantes.
Passo 2
a) Determinar o ângulo no vértice :
Primeiro, vamos encontrar os vetores e .
Coordenadas dos pontos:
Vetores:
Para achar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno:
onde é o produto escalar e e são os módulos dos vetores.
Passo 3
Vamos calcular cada parte da fórmula:
Produto Escalar:
Módulos dos Vetores:
Aplicando na Fórmula do Cosseno:
Passo 4
b) Projeção do lado sobre o lado :
Primeiro, encontramos o vetor :
A projeção de sobre é dada por:
Calculando passo a passo:
Produto Escalar:
Módulo ao Quadrado de :
Projeção:
Passo 5
c) Calcular a área do triângulo :
Vamos usar a fórmula do determinante para achar a área: