Para a equação
, reescreva a equação na forma canônica e determine suas propriedades.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma canônica, que é uma maneira mais simples de identificar o tipo de superfície que ela representa e suas propriedades. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando as variáveis semelhantes:
Aqui, temos termos quadráticos e lineares em
e
, e um termo quadrático em
.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Para isso, fatoramos os coeficientes das parcelas quadráticas:
- Para
:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de
, que é
, e elevamos ao quadrado:
. Então:
- Para
:
Metade do coeficiente de
é
, e ao quadrado dá
. Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, isolamos os termos quadráticos:
Passo 5
Para chegar na forma canônica, vamos dividir toda a equação por 81:
Simplificando as frações:
Resposta
A forma canônica da equação é:
Propriedades:
- Tipo de superfície: Hiperbolóide de uma folha.
- Centro da superfície:
. - Eixos principais: As direções dos eixos
, e com seus respectivos coeficientes. - Assíntotas: São determinadas pelos coeficientes das variáveis e indicam a direção em que a superfície se expande.
Assim, identificamos a equação como representando um hiperbolóide de uma folha, com o centro deslocado para
e suas principais características definidas pelos denominadores das frações.