Para a equação 4 x^2+9 y^2-16 z^2+24 x+18 y-36=0, reescreva a equação na forma canônica e determine suas propriedades.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma canônica, que é uma maneira mais simples de identificar o tipo de superfície que ela representa e suas propriedades. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação agrupando as variáveis semelhantes:
4x^2 + 24x + 9y^2 + 18y - 16z^2 - 36 = 0
Aqui, temos termos quadráticos e lineares em e , e um termo quadrático em .

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis 4x^2 + 24x = 4(x^2 + 6x) e 4(x^2 + 6x + 9 - 9) = 4((x + 3)^2 - 9) = 4(x + 3)^2 - 36 . Para isso, fatoramos os coeficientes das parcelas quadráticas:
  • Para 9y^2 + 18y = 9(y^2 + 2y) :
9(y^2 + 2y + 1 - 1) = 9((y + 1)^2 - 1) = 9(y + 1)^2 - 9
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de , que é , e elevamos ao quadrado: . Então:
  • Para :
Metade do coeficiente de é , e ao quadrado dá . Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
4(x + 3)^2 - 36 + 9(y + 1)^2 - 9 - 16z^2 - 36 = 0
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
4(x + 3)^2 + 9(y + 1)^2 - 16z^2 - 81 = 0
Então, isolamos os termos quadráticos:
4(x + 3)^2 + 9(y + 1)^2 - 16z^2 = 81

Passo 5

Para chegar na forma canônica, vamos dividir toda a equação por 81:
4(x + 3)^281 + 9(y + 1)^281 - 16z^281 = 1
Simplificando as frações:
(x + 3)^220.25 + (y + 1)^29 - z^25.0625 = 1

Resposta

A forma canônica da equação é:
(x + 3)^220.25 + (y + 1)^29 - z^25.0625 = 1
Propriedades:
  • Tipo de superfície: Hiperbolóide de uma folha.
  • Centro da superfície: .
  • Eixos principais: As direções dos eixos , e com seus respectivos coeficientes.
  • Assíntotas: São determinadas pelos coeficientes das variáveis e indicam a direção em que a superfície se expande.
Assim, identificamos a equação como representando um hiperbolóide de uma folha, com o centro deslocado para e suas principais características definidas pelos denominadores das frações.

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