Mostre que a equação
tem no máximo uma solução no intervalo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de mostrar que a equação
tem no máximo uma solução no intervalo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função. Precisaremos entender como a função se comporta em termos de crescimento ou decrescimento nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função relacionada à equação:
Queremos saber quantas vezes essa função cruza o eixo
, ou seja, quantas soluções existem para
no intervalo
.
Passo 3
Para determinar o número de soluções, vamos analisar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
no intervalo
. Sabemos que:
-
é sempre não negativo porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. -
é sempre positivo, já que a base elevada a qualquer potência nunca resulta em zero ou negativo.
Portanto:
Passo 5
Como a derivada
é sempre positiva nesse intervalo, isso significa que a função
está sempre aumentando de
a
. Uma função que é sempre crescente não pode ter mais de uma solução para
, porque após passar de negativo para positivo (ou vice-versa), ela não volta atrás.
Resposta
Portanto, a equação
tem no máximo uma solução no intervalo
.