Mostre que a equação x^3 + e^x = 0 tem no máximo uma solução no intervalo [-2, 2].

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de mostrar que a equação x^3 + e^x = 0 tem no máximo uma solução no intervalo [-2, 2]. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para analisar o comportamento da função. Precisaremos entender como a função se comporta em termos de crescimento ou decrescimento nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função relacionada à equação:
Queremos saber quantas vezes essa função cruza o eixo x, ou seja, quantas soluções existem para no intervalo [-2, 2].

Passo 3

Para determinar o número de soluções, vamos analisar a derivada da função f(x). A derivada nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo. Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal da derivada no intervalo [-2, 2]. Sabemos que:
  • é sempre não negativo porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero.
  • e^x é sempre positivo, já que a base e elevada a qualquer potência nunca resulta em zero ou negativo.
Portanto:

Passo 5

Como a derivada é sempre positiva nesse intervalo, isso significa que a função f(x) está sempre aumentando de -2 a . Uma função que é sempre crescente não pode ter mais de uma solução para , porque após passar de negativo para positivo (ou vice-versa), ela não volta atrás.

Resposta

Portanto, a equação x^3 + e^x = 0 tem no máximo uma solução no intervalo [-2, 2].

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