Passo 1
Ok, vamos começar! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
que fazem essa função igual a zero, ou seja, resolver a equação
. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra, especialmente sobre equações polinomiais de terceiro grau.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional da equação
. As raízes racionais possíveis podem ser encontradas usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que elas são das formas
. No nosso caso, o termo constante é 4 e o coeficiente líder é 1, então as possíveis raízes racionais são
.
Passo 3
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo na função
:
-
Para
:
(não é zero) -
Para
:
(não é zero) -
Para
:
(não é zero) -
Para
:
(não é zero) -
Para
:
(não é zero) -
Para
:
(não é zero)
Nenhuma dessas substituições resultou em zero, então não temos raízes racionais.
Passo 4
Como não encontramos raízes racionais, vamos precisar usar métodos numéricos ou fatoração por tentativa para encontrar as raízes. Uma abordagem comum é usar o Método de Newton-Raphson para aproximar as raízes reais da função.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico da função
para ter uma ideia de onde as raízes podem estar. Sabemos que polinômios de terceiro grau têm pelo menos uma raiz real. Observando os coeficientes:
- Para
muito positivo, domina e tende a . - Para
muito negativo, domina e tende a .
Portanto, deve haver pelo menos uma raiz real entre
e
, já que
e
, e ainda outra raiz entre
e
, porque
.
Passo 6
Usando o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função, começamos com uma estimativa inicial e iteramos até obter uma boa aproximação.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Primeiro, precisamos da derivada da função:
Vamos escolher
como nossa estimativa inicial.
Passo 7
Calculando:
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Iterando mais uma vez com
:
Passo 9
Continuando com
:
Resposta
A raiz aproximada da função
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
tem no máximo uma solução no intervalo
.