Passo 1

Ok, vamos começar! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de que fazem essa função igual a zero, ou seja, resolver a equação . Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de álgebra, especialmente sobre equações polinomiais de terceiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional da equação . As raízes racionais possíveis podem ser encontradas usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que elas são das formas í. No nosso caso, o termo constante é 4 e o coeficiente líder é 1, então as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo na função :
  • Para :
    (não é zero)
  • Para :
    (não é zero)
  • Para :
    (não é zero)
  • Para :
    (não é zero)
  • Para :
    (não é zero)
  • Para :
    (não é zero)
Nenhuma dessas substituições resultou em zero, então não temos raízes racionais.

Passo 4

Como não encontramos raízes racionais, vamos precisar usar métodos numéricos ou fatoração por tentativa para encontrar as raízes. Uma abordagem comum é usar o Método de Newton-Raphson para aproximar as raízes reais da função.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico da função para ter uma ideia de onde as raízes podem estar. Sabemos que polinômios de terceiro grau têm pelo menos uma raiz real. Observando os coeficientes:
  • Para muito positivo, domina e tende a .
  • Para muito negativo, domina e tende a .
Portanto, deve haver pelo menos uma raiz real entre e , já que e , e ainda outra raiz entre e , porque .

Passo 6

Usando o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função, começamos com uma estimativa inicial e iteramos até obter uma boa aproximação.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Primeiro, precisamos da derivada da função:
Vamos escolher como nossa estimativa inicial.

Passo 7

Calculando:
Aplicando a fórmula:

Passo 8

Iterando mais uma vez com :

Passo 9

Continuando com :

Resposta

A raiz aproximada da função é .

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Mostre que a equação tem no máximo uma solução no intervalo .