Seja
uma função contínua. Mostre que existe
tal que
. Neste caso, dizemos que
tem um ponto fixo.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se temos uma função contínua
que mapeia o intervalo
de volta para ele mesmo, ou seja,
, então existe pelo menos um ponto
dentro de
onde
. Esse ponto
é chamado de ponto fixo da função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função contínua, de maneira simples, é aquela sem “saltos” ou “quebras” no seu gráfico. Isso é importante porque garante que a função se comporta de maneira previsível dentro do intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função
. Nosso objetivo é encontrar um ponto
onde
, o que significa que
. Ou seja, queremos mostrar que a função
tem uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar os valores de
nas extremidades do intervalo:
- Calcule
- Calcule
Como
mapeia
para
, sabemos que
e
. Portanto:
Passo 5
Agora, temos que
é maior ou igual a zero e
é menor ou igual a zero. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve passar por zero nesse intervalo. Como
é contínua (porque
é contínua e a função identidade
também é contínua), existe pelo menos um ponto
em
tal que
.
Resposta
Portanto, existe um ponto
onde
. Assim, a função
tem pelo menos um ponto fixo no intervalo
.