Seja f:[a, b] -> [a, b] uma função contínua. Mostre que existe c em R tal que f(c) = c. Neste caso, dizemos que f tem um ponto fixo.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se temos uma função contínua que mapeia o intervalo de volta para ele mesmo, ou seja, , então existe pelo menos um ponto dentro de onde . Esse ponto é chamado de ponto fixo da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função contínua, de maneira simples, é aquela sem “saltos” ou “quebras” no seu gráfico. Isso é importante porque garante que a função se comporta de maneira previsível dentro do intervalo .

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Nosso objetivo é encontrar um ponto onde , o que significa que . Ou seja, queremos mostrar que a função tem uma raiz no intervalo .

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos verificar os valores de nas extremidades do intervalo:
  • Calcule
  • Calcule
Como mapeia para , sabemos que e . Portanto:

Passo 5

Agora, temos que é maior ou igual a zero e é menor ou igual a zero. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve passar por zero nesse intervalo. Como é contínua (porque é contínua e a função identidade também é contínua), existe pelo menos um ponto em tal que .

Resposta

Portanto, existe um ponto onde . Assim, a função tem pelo menos um ponto fixo no intervalo .

Exercícios relacionados