Mostre que a equação é homogênea e encontre sua solução geral.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa equação diferencial: . O exercício pede para mostrarmos que ela é homogênea e depois encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas adequadas para resolvê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial do tipo é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau. Isso quer dizer que se multiplicarmos e por um fator , as funções e serão iguais a e respectivamente, onde é o grau da homogeneidade.
Passo 3
Vamos verificar se e são homogêneas.
Calculando :
Calculando :
Ambas as funções são homogêneas de grau 2.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição , o que implica que e .
Vamos substituir e na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação:
Substituindo e :
Agora, a equação fica:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Simplificando os termos:
Somando os termos com :
Isso simplifica para:
Passo 7
Dividindo toda a equação por para separar as variáveis: