Mostre que a equação é homogênea e encontre sua solução geral.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa equação diferencial: . O exercício pede para mostrarmos que ela é homogênea e depois encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e técnicas adequadas para resolvê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial do tipo é homogênea se as funções e forem homogêneas do mesmo grau. Isso quer dizer que se multiplicarmos e por um fator , as funções e serão iguais a e respectivamente, onde é o grau da homogeneidade.

Passo 3

Vamos verificar se e são homogêneas.
Calculando :
Calculando :
Ambas as funções são homogêneas de grau 2.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição , o que implica que e .
Vamos substituir e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação:
Substituindo e :
Agora, a equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Simplificando os termos:
Somando os termos com :
Isso simplifica para:

Passo 7

Dividindo toda a equação por para separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados:

Passo 8

Calculando as integrais:
Substituindo :
Simplificando:
Agrupando os termos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Resolva a EDO: com sendo uma solução.
Sabendo que é solução da equação , encontre a solução geral.
Considere a equação: . Encontre os valores de e de modo que seja um fator integrante capaz de transformar a EDO acima em uma EDO exata. Resolva a equação resultante.
considere
A) encontre a derivada direcional de f em na direção do vetor