considere
A) encontre a derivada direcional de f em
na direção do vetor
A) encontre a derivada direcional de f em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto considerado e de um vetor unitário na direção desejada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Como
(já que
é tratado como constante em relação a
) e
, temos:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Aqui,
e, usando a regra do produto:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de
. Primeiro, calculamos o módulo desse vetor:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Considere a equação:
. Encontre os valores de
e
de modo que
seja um fator integrante capaz de transformar a EDO acima em uma EDO exata. Resolva a equação resultante.
Mostre que a equação
é homogênea e encontre sua solução geral.
considere
C) Explique por que f é diferenciável
C) Explique por que f é diferenciável
A equação
. Defina
implicitamente em função de
e y e determine