considere f(x, y) = x ln(y^2) + y^4 e^(-2xy)
A) encontre a derivada direcional de f em 0,1 na direção do vetor i - 2j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como gradiente e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. Ela nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto considerado e de um vetor unitário na direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Como (já que é tratado como constante em relação a ) e , temos:
Calculando a derivada parcial em relação a :
Aqui, e, usando a regra do produto:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo desse vetor:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de em na direção do vetor é .

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