Considere a equação:
. Encontre os valores de
e
de modo que
seja um fator integrante capaz de transformar a EDO acima em uma EDO exata. Resolva a equação resultante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
. O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre como transformar uma EDO que não é exata em uma que é, usando um fator integrante. A gente precisa achar os valores de
e
para que
seja esse fator integrante e, assim, resolver a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função
tal que
. Para isso, é preciso que
.
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
e
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos procurar um fator integrante da forma
. Ao multiplicar a EDO original por
, queremos que a nova equação seja exata. Ou seja, queremos que:
Vamos calcular
e
:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
Passo 4
Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
Simplificando as equações:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 3:
E mantendo a segunda equação:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Com
e
, o fator integrante é:
Multiplicando a EDO original por
, temos:
Agora, verificamos que a equação é exata.
Passo 7
Para resolver a EDO exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
com
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
é homogênea e encontre sua solução geral.
Resolva a EDO:
com
sendo uma solução.
considere
A) encontre a derivada direcional de f em na direção do vetor
A) encontre a derivada direcional de f em
considere
C) Explique por que f é diferenciável
C) Explique por que f é diferenciável