Considere a equação: (2y^2 - 6xy)dx + (3xy - 4x^2)dy = 0. Encontre os valores de m e n de modo que x^n y^m seja um fator integrante capaz de transformar a EDO acima em uma EDO exata. Resolva a equação resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por . O conteúdo aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente sobre como transformar uma EDO que não é exata em uma que é, usando um fator integrante. A gente precisa achar os valores de e para que seja esse fator integrante e, assim, resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação da forma é exata se existir uma função tal que . Para isso, é preciso que .
No nosso caso, e . Vamos calcular e :
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos procurar um fator integrante da forma . Ao multiplicar a EDO original por , queremos que a nova equação seja exata. Ou seja, queremos que:
Vamos calcular e :
Agora, calculemos as derivadas parciais:

Passo 4

Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas:
Agora, igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para :
  1. Para :
Simplificando as equações:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por 3:
E mantendo a segunda equação:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Com e , o fator integrante é:
Multiplicando a EDO original por , temos:
Agora, verificamos que a equação é exata.

Passo 7

Para resolver a EDO exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a com :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante.

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