Resolva a EDO: com sendo uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
A gente sabe que é uma solução dessa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver uma EDO do tipo Riccati, que é uma equação não linear de primeira ordem. Vamos precisar usar uma solução particular para simplificar e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, rearranjando a equação:
Aqui, , e .
Como já sabemos uma solução particular , vamos usar isso para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para transformar a EDO de Riccati em uma equação linear. Definimos:
Substituindo :
Agora, vamos calcular :
Substituindo na equação original:
Simplificando essa expressão, cancelamos termos e obtemos uma equação linear em .

Passo 4

Após simplificar, chegamos a uma equação linear para :
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos a equação por :
Isso nos leva a:
Integrando ambos os lados:
Então:

Passo 5

Agora que temos , voltamos à substituição original para encontrar :
Para simplificar, podemos reescrever essa expressão:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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