Resolva a EDO:
com
sendo uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
A gente sabe que
é uma solução dessa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver uma EDO do tipo Riccati, que é uma equação não linear de primeira ordem. Vamos precisar usar uma solução particular para simplificar e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO de Riccati tem a forma geral:
No nosso caso, rearranjando a equação:
Aqui,
,
e
.
Como já sabemos uma solução particular
, vamos usar isso para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para transformar a EDO de Riccati em uma equação linear. Definimos:
Substituindo
:
Agora, vamos calcular
:
Substituindo na equação original:
Simplificando essa expressão, cancelamos termos e obtemos uma equação linear em
.
Passo 4
Após simplificar, chegamos a uma equação linear para
:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação por
:
Isso nos leva a:
Integrando ambos os lados:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, voltamos à substituição original para encontrar
:
Para simplificar, podemos reescrever essa expressão:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Sabendo que
é solução da equação
, encontre a solução geral.
Resolva o problema de valor inicial
Mostre que a equação
é homogênea e encontre sua solução geral.
Considere a equação:
. Encontre os valores de
e
de modo que
seja um fator integrante capaz de transformar a EDO acima em uma EDO exata. Resolva a equação resultante.