(a) Mostre que, se
, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se
, então:
Esse problema está relacionado com propriedades de funções polinomiais e desigualdades. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar conceitos de desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a expressão no lado esquerdo da desigualdade:
Isso se assemelha à fórmula da soma de uma progressão geométrica ou à diferença de potências. Na verdade, sabemos que:
Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma que obtivemos:
Note que cada termo dessa soma é menor ou igual a
porque
e
é positiva. Como temos
termos nessa soma, podemos afirmar que:
Isso acontece porque cada
, com
variando de
a
, é menor que
.
Passo 4
Comparando as duas expressões, temos:
Portanto, mostramos que a expressão do lado esquerdo é realmente menor que
quando
.
Resposta
Assim, provamos que, se
, então:
Exercícios relacionados
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
-seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Considere uma caixa isolada termicamente (um edifício, talvez) com temperatura interna
. De acordo com a lei de resfriamento de Newton,
satisfaz a equação diferencial
Onde
é a temperatura ambiente (externa). Suponha que
varia senoidalmente, por exemplo, suponha que
Resolva a equação diferencial e expresse em função de
e
. Observe que parte da sua solução tende a zero quando
trona-se muito grande; essa é chamada de parte transiente. A parte restante da solução é chamada de estado estacionário. Denote-a por
.
coswt + wsenwt
Resolva a equação diferencial e expresse
Encontre
.