(a) Mostre que, se , então

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se , então:
Esse problema está relacionado com propriedades de funções polinomiais e desigualdades. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar conceitos de desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a expressão no lado esquerdo da desigualdade:
Isso se assemelha à fórmula da soma de uma progressão geométrica ou à diferença de potências. Na verdade, sabemos que:
Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma que obtivemos:
Note que cada termo dessa soma é menor ou igual a porque e é positiva. Como temos termos nessa soma, podemos afirmar que:
Isso acontece porque cada , com variando de a , é menor que .

Passo 4

Comparando as duas expressões, temos:
Portanto, mostramos que a expressão do lado esquerdo é realmente menor que quando .

Resposta

Assim, provamos que, se , então:

Exercícios relacionados

Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
-seny
[Boyce, W., Oitava edição, Seção 2.6]
Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas tornam-se exatas se forem multiplicadas por um fator integrante. Depois resolva as equações.
Considere uma caixa isolada termicamente (um edifício, talvez) com temperatura interna . De acordo com a lei de resfriamento de Newton, satisfaz a equação diferencial
Onde é a temperatura ambiente (externa). Suponha que varia senoidalmente, por exemplo, suponha que
Resolva a equação diferencial e expresse em função de e . Observe que parte da sua solução tende a zero quando trona-se muito grande; essa é chamada de parte transiente. A parte restante da solução é chamada de estado estacionário. Denote-a por . coswt + wsenwt
Encontre .