(a) Mostre que, se
, então
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se
, então:
Esse problema está relacionado com propriedades de funções polinomiais e desigualdades. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar conceitos de desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a expressão no lado esquerdo da desigualdade:
Isso se assemelha à fórmula da soma de uma progressão geométrica ou à diferença de potências. Na verdade, sabemos que:
Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma que obtivemos:
Note que cada termo dessa soma é menor ou igual a
porque
e
é positiva. Como temos
termos nessa soma, podemos afirmar que:
Isso acontece porque cada
, com
variando de
a
, é menor que
.
Passo 4
Comparando as duas expressões, temos:
Portanto, mostramos que a expressão do lado esquerdo é realmente menor que
quando
.
Resposta
Assim, provamos que, se
, então: