(a) Mostre que, se 0 <= a < b, então
(b^(n+1) - a^(n+1)) / (b - a) < (n + 1) b^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se , então:
Esse problema está relacionado com propriedades de funções polinomiais e desigualdades. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar conceitos de desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a expressão no lado esquerdo da desigualdade:
Isso se assemelha à fórmula da soma de uma progressão geométrica ou à diferença de potências. Na verdade, sabemos que:
Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma que obtivemos:
Note que cada termo dessa soma é menor ou igual a porque e a é positiva. Como temos n + 1 termos nessa soma, podemos afirmar que:
Isso acontece porque cada , com k variando de 0 a n, é menor que .

Passo 4

Comparando as duas expressões, temos:
Portanto, mostramos que a expressão do lado esquerdo é realmente menor que quando .

Resposta

Assim, provamos que, se , então:

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